# 数学代写|信息论代写information theory代考|MAXIMUM ENTROPY DISTRIBUTIONS

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|信息论代写information theory代考|MAXIMUM ENTROPY DISTRIBUTIONS

Consider the following problem: Maximize the entropy $h(f)$ over all probability densities $f$ satisfying

1. $f(x) \geq 0$, with equality outside the support set $S$
2. $\int_S f(x) d x=1$
3. $\int_S f(x) r_i(x) d x=\alpha_i$ for $1 \leq i \leq m$.
Thus, $f$ is a density on support set $S$ meeting certain moment constraints $\alpha_1, \alpha_2, \ldots, \alpha_m$.

Approach 1 (Calculus) The differential entropy $h(f)$ is a concave function over a convex set. We form the functional
$$J(f)=-\int f \ln f+\lambda_0 \int f+\sum_{i=1}^m \lambda_i \int f r_i$$
and “differentiate” with respect to $f(x)$, the $x$ th component of $f$, to obtain
$$\frac{\partial J}{\partial f(x)}=-\ln f(x)-1+\lambda_0+\sum_{i=1}^m \lambda_i r_i(x)$$

Setting this equal to zero, we obtain the form of the maximizing density
$$f(x)=e^{\lambda_0-1+\sum_{i=1}^m \lambda_i r_i(x)}, \quad x \in S,$$
where $\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_m$ are chosen so that $f$ satisfies the constraints.
The approach using calculus only suggests the form of the density that maximizes the entropy. To prove that this is indeed the maximum, we can take the second variation. It is simpler to use the information inequality $D(g | f) \geq 0$.

## 数学代写|信息论代写information theory代考|ANOMALOUS MAXIMUM ENTROPY PROBLEM

We have proved that the maximum entropy distribution subject to the constraints
$$\int_S h_i(x) f(x) d x=\alpha_i$$
is of the form
$$f(x)=e^{\lambda_0+\sum \lambda_i h_i(x)}$$
if $\lambda_0, \lambda_1, \ldots, \lambda_p$ satisfying the constraints (12.25) exist.

We now consider a tricky problem in which the $\lambda_i$ cannot be chosen to satisfy the constraints. Nonetheless, the “maximum” entropy can be found. We consider the following problem: Maximize the entropy subject to the constraints
\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x & =1, \ \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x & =\alpha_1, \ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x & =\alpha_2, \ \int_{-\infty}^{\infty} x^3 f(x) d x & =\alpha_3 . \end{aligned}
Here, the maximum entropy distribution, if it exists, must be of the form
$$f(x)=e^{\lambda_0+\lambda_1 x+\lambda_2 x^2+\lambda_3 x^3}$$
But if $\lambda_3$ is nonzero, $\int_{-\infty}^{\infty} f=\infty$ and the density cannot be normalized. So $\lambda_3$ must be 0 . But then we have four equations and only three variables, so that in general it is not possible to choose the appropriate constants. The method seems to have failed in this case.

# 信息论代写

## 数学代写|信息论代写information theory代考|MAXIMUM ENTROPY DISTRIBUTIONS

$f(x) \geq 0$，与外支撑集相等 $S$

$\int_S f(x) d x=1$

$\int_S f(x) r_i(x) d x=\alpha_i$ 浏览$1 \leq i \leq m$。

$$J(f)=-\int f \ln f+\lambda_0 \int f+\sum_{i=1}^m \lambda_i \int f r_i$$

$$\frac{\partial J}{\partial f(x)}=-\ln f(x)-1+\lambda_0+\sum_{i=1}^m \lambda_i r_i(x)$$

$$f(x)=e^{\lambda_0-1+\sum_{i=1}^m \lambda_i r_i(x)}, \quad x \in S,$$

## 数学代写|信息论代写information theory代考|ANOMALOUS MAXIMUM ENTROPY PROBLEM

$$\int_S h_i(x) f(x) d x=\alpha_i$$

$$f(x)=e^{\lambda_0+\sum \lambda_i h_i(x)}$$

\begin{aligned} \int_{-\infty}^{\infty} f(x) d x & =1, \ \int_{-\infty}^{\infty} x f(x) d x & =\alpha_1, \ \int_{-\infty}^{\infty} x^2 f(x) d x & =\alpha_2, \ \int_{-\infty}^{\infty} x^3 f(x) d x & =\alpha_3 . \end{aligned}

$$f(x)=e^{\lambda_0+\lambda_1 x+\lambda_2 x^2+\lambda_3 x^3}$$

## 有限元方法代写

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