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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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数学代写|信息论作业代写information theory代考|Quantum observables

To formulate von Neumann’s postulate 3, we now give a formal definition of a quantum observable below (see Chang [23]).

Definition 2.6.3. The triple $(\mathrm{X}, \mathcal{B}(\mathrm{X})$, a) is said to be a quantum observable if (i) $\mathrm{X}$ is a locally compact Hausdorff space; (ii) $\mathcal{B}(\mathrm{X})$ is the Borel $\sigma$-algebra of subsets of $\mathbb{X}$ and (iii) $\mathbf{a}$ is a positive self-adjoint operator valued measure $\mathbf{a}:(\mathbb{X}, \mathcal{B}(\mathbb{X})) \rightarrow \mathfrak{B}_{+}(\mathbb{H})$ such that $\mathbf{a}(E)$ is a positive self-adjoint operator on the complex Hilbert space $\mathbb{H}$ for every $E \in \mathcal{B}(\mathrm{X})$ that satisfies:

$\mathbf{0} \leq \mathbf{a}(E) \leq \mathbf{a}(\mathrm{X})$

$\mathbf{a}(\mathbb{X})=\tau$, where $\tau: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{C}$ is a bounded linear functional on $\mathbb{H}$ such that $\tau(\phi)=$ $|\phi|_{\mathrm{H}}$

$\mathbf{a}\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty} E_n\right)=\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbf{a}\left(E_n\right)$ for any sequence $\left{E_n, n=1,2, \ldots\right}$ of pairwise disjoint sets in $\mathcal{B}(\mathrm{X})$, where the summation in right-hand side is the $\sigma$-weakly convergence.
In this case, the measurable space $(X, \mathcal{B}(X))$ is said to be the value space of a.
The collection of bounded quantum observables will be denoted by $\mathcal{O}_{\mathbf{H}}(\mathbb{X}, \mathcal{B}(\mathbb{X}))$. As described in Chang [22], a “quantum observable” is the quantum physicist’s word for real random variable that describes a physical quantity (such as position, velocity, momentum, angular momentum, energy, etc.) of a quantum system that plays a central role in quantum mechanics. They are mathematical representations of physical quantities that can (in principle) be measured. However, arbitrary nonreal elements (or nonself-adjoint operators) do not represent in general complex random variables. Nonreal (i. e., complex) quantum random variables correspond to normal elements $\mathbf{a} \in \mathcal{A}$, which commutes with their adjoint, i. e., $\mathbf{a}(E) \mathbf{a}^(E)=\mathbf{a}^(E) \mathbf{a}(E)$ for all $E \in \mathcal{B}(\mathbb{X})$. To avoid unnecessarily confusion, we often take $\mathbb{X}$ to be $\mathbb{R}$ for simplicity. In this case, all quantum observables are assumed to be real-valued.
The definition of quantum probability space is given below.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Quantum measurements

Formulation of von Neumann’s postulate 4 is as follows. Recall that a quantum state $\rho$ is a positive trace-class operator such that $\operatorname{tr}(\rho)=1$ and a quantum observable $\mathbf{a}$ is a self-adjoint operator-valued map defined on the real measurable space $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. By the von Neumann spectral theorem (Theorem 1.7.4), there exists a projection-valued measure $\mu_{\mathrm{a}}$ on $\left(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})\right.$ ) such that $\mathbf{a}(E)=\int_E \lambda \mu_{\mathrm{a}}(d \lambda)$ for all $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. The probability $P(\rho, \mathbf{a}, E)$ that in the quantum state $\rho$ the quantum observable a should take values in $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ is given by $P(\rho, \mathbf{a}, E)=\operatorname{tr}\left[\rho \mu_{\mathbf{a}}(E)\right]$.

A measurement of the real quantum observable $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})$, a) (or simply a) is a physical procedure or experiment that produces numerical results related to a. A process of measurement is the map $(\mathbf{a}, \rho) \mapsto \mu_{\mathrm{a}}$ from $\mathcal{A} \times \mathcal{S}(\mathcal{A})$ to $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ (where $\mathcal{P}(\mathbb{R}$ ) is the space of probability measures on $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$, which to every observable $\mathbf{a} \in \mathcal{A}$ and state $\rho \in \mathcal{S}(\mathcal{A})$ assigns a probability measure $\mu$ on the Borel measurable space $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. For every Borel subset $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, the quantity $0 \leq \mu_{\mathrm{a}}(E) \leq 1$ is the probability that for a quantum system in the state $\rho$ the result of a measurement of the observable $\mathbf{a}$ belongs to $E$. The expectation value (the mean-value) of the observable $\mathbf{a} \in \mathcal{A}$ is $\int_{\infty}^{\infty} \lambda d \mu_{\mathrm{a}}(\lambda)$, where $\mu_{\mathrm{a}}(\lambda)=\mu_{\mathrm{a}}(]-\infty, \lambda[)$ is a distribution function for the probability measure $\mu_{\mathrm{a}}$.
In any given measurement of the observable $\mathbf{a}$, the allowable results $a$ take values in $\sigma(\mathbf{a})$, the spectrum of $\mathbf{a}$. Given the state $\rho$, the value $a \in \sigma(\mathbf{a})$ is observed with probability $\operatorname{tr}\left(\rho \mathbf{P}{\psi(a)}\right)$, where $\mathbf{P}{\psi(a)}$ or simply $\mathbf{P}a$ is the one-dimensional vector space generated by the eigenvector $\psi(a)$ associated to the eigenvalue $a$ of $\mathbf{a}$. Consequently, the expectation of the observable $\mathbf{a}$ is given by $\mathbf{E}\rho(\mathbf{a})=\operatorname{tr}[\rho \mathbf{a}]$.

Suppose that a measurement of the observable a gives rise to the observation $a \in$ $\sigma(\mathbf{a})$. Then we must condition that state in order to predict the outcomes of subsequent measurements, by updating the state $\rho$ using
$$
\rho \mapsto \rho^{\prime}[a]=\frac{\mathbf{P}_a \rho \mathbf{P}_a}{\operatorname{tr}\left(\rho \mathbf{P}_a\right)}
$$
This is the so-called back-action of a quantum measurement.
Let $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ be the $\sigma$-algebra of Borel subsets of $\mathbb{R}$ (see Wheeden and Zygmund [177] for a definition of Borel $\sigma$-algebra). Recall that $\mathfrak{L}_p(\mathbb{H})$ is the collection of projection operators on $\mathrm{H}$ (see Section 1.6 for the definition and properties of projection operators). In the following, we explore the concept of projection-valued measures.

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为了制定冯诺依曼的假设 3 ，我们现在在下面给出量子可 观察量的正式定义 (见 Chang [23])。
定义 2.6.3。三重 $(\mathrm{X}, \mathcal{B}(\mathrm{X})$, a) 被认为是一个量子可观察 的如果 (i) $\mathrm{X}$ 是局部紧致的豪斯多夫空间；(二) $\mathcal{B}(\mathrm{X})$ 是宝 来 $\sigma$-子集的代数X(三) $\mathbf{a}$ 是一个正的自伴随算子值度量
$\mathbf{a}:(\mathbb{X}, \mathcal{B}(\mathbb{X})) \rightarrow \mathfrak{B}{+}(\mathbb{H})$ 这样 $\mathbf{a}(E)$ 是复 Hilbert 空 $$ \mathbf{0} \leq \mathbf{a}(E) \leq \mathbf{a}(\mathrm{X}) $$ $\mathbf{a}(\mathbb{X})=\tau$ ，在哪里 $\tau: \mathbb{H} \rightarrow \mathbb{C}$ 是上的有界线性泛函 $\mathbb{H}$ 这样 $\tau(\phi)=|\phi|{\mathrm{H}}$
$\mathbf{a}\left(\bigcup_{n=1}^{+\infty} E_n\right)=\sum_{n=1}^{+\infty} \mathbf{a}\left(E_n\right)$ 对于任何序列
Veft $\left{E_{_} n, n=1,2 ，\right.$ Vdots\right } } \text { 成对不相交的集合 } \mathcal { B } ( X ) \text { ， }
其中右侧的总和是 $\sigma$-弱收敛。
在这种情况下，可测空间 $(X, \mathcal{B}(X))$ 称为 $\mathrm{a}$ 的值空间。
有界量子可观测量的集合将表示为 $\mathcal{O}_{\mathbf{H}}(\mathbb{X}, \mathcal{B}(\mathbb{X}))$. 正如
Chang [22] 所述，“量子可观察量”是量子物理学家对真 实随机变量的描述，它描述了一个量子系统的物理量
(如位置、速度、动量、角动量、能量等) 在量子力学 中的核心作用。它们是可以 (原则上) 测量的物理量的 数学表示。然而，任意非实数元素（或非自伴随算子)
并不代表一般的复杂随机变量。非真实 (即复数) 量子 随机变量对应于正常元素 $\mathbf{a} \in \mathcal{A}$ ，它与他们的伴随物交 换，即 $\$ \backslash m a t h b f{a}(E) \backslash m a t h b f{a}^{\wedge}(E)=I m a t h b f{a}^{\wedge}$
(E) \mathbf ${a}(E)$ foralle $\backslash$ in $\backslash m a t h c a l{B}(\backslash m a t h b b{X})$
. Toavoidunnecessarilyconfusion, weoftentake
$\backslash m a t h b b{X}$ tobe $\backslash m a t h b b{R}$ 为简单起见。在这种情况
下，所有量子可观察量都被假定为实值。
下面给出量子概率空间的定义。

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冯·诺依曼公设 4 的表述如下。回想一下量子态 $\rho$ 是正迹 类算子，使得 $\operatorname{tr}(\rho)=1$ 和一个量子可观测 $\mathbf{a}$ 是定义在真 实可测空间上的自伴随算子值映射 $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. 根据冯诺 依曼谱定理（定理 1.7.4），存在投影值测度 $\mu_{\mathrm{a}}$ 在 $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ 这样 $\mathbf{a}(E)=\int_E \lambda \mu_{\mathrm{a}}(d \lambda)$ 对全部 $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$. 概率 $P(\rho, \mathbf{a}, E)$ 在量子态 $\rho$ 量子可观察 a 应 该取值 $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ 是 (谁) 给的
$$
P(\rho, \mathbf{a}, E)=\operatorname{tr}\left[\rho \mu_{\mathbf{a}}(E)\right]
$$
真实量子可观测量 $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R})$, a)（或简称 a) 是产生与 a 相关的数值结果的物理过程或实验。一个测量过程就是 地图 $(\mathbf{a}, \rho) \mapsto \mu_{\mathrm{a}}$ 从 $\mathcal{A} \times \mathcal{S}(\mathcal{A})$ 到 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ (在哪里 $\mathcal{P}(\mathbb{R})$ 是概率测度的空间 $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$ ，对于每个可观察到的 $\mathbf{a} \in \mathcal{A}$ 和状态 $\rho \in \mathcal{S}(\mathcal{A})$ 分配概率度量 $\mu$ 在 Borel 可测 空间上 $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. 对于每个 Borel 子集 $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ ， 数量 $0 \leq \mu_{\mathrm{a}}(E) \leq 1$ 是状态中的量子系统的概率 $\rho$ 可观 察量的测量结果 $\mathbf{a}$ 属于 $E$. 可观察值的期望值 (均值) $\mathbf{a} \in \mathcal{A}$ 是 $\int_{\infty}^{\infty} \lambda d \mu_{\mathrm{a}}(\lambda)$ ， 在哪里
$\mu_{\mathrm{a}}(\lambda)=\mu_{\mathrm{a}}(]-\infty, \lambda[)$ 是概率测度的分布函数 $\mu_{\mathrm{a}}$.
在任何给定的可观察测量中 $\mathbf{a}$, 允许的结果 $a$ 取值 $\sigma(\mathbf{a})$ ， 的 频谱a. 给定状态 $\rho ，$ 价值 $a \in \sigma(\mathbf{a})$ 以概率观察到 $\operatorname{tr}(\rho \mathbf{P} \psi(a))$ ，在哪里 $\mathbf{P} \psi(a)$ 或者简单地 $\mathbf{P} a$ 是由特征 向量生成的一维向量空间 $\psi(a)$ 与特征值相关联 $a$ 的 $\mathbf{a}$. 因 此，可观察到的期望 $\mathbf{a}$ 是 (谁) 给的 $\mathbf{E} \rho(\mathbf{a})=\operatorname{tr}[\rho \mathbf{a}]$.
假设对可观测值 a 的测量产生了观测值 $a \in \sigma(\mathbf{a})$. 然后 我们必须调整该状态，以便通过更新状态来预测后续测 量的结果 $\rho$ 使用
$$
\rho \mapsto \rho^{\prime}[a]=\frac{\mathbf{P}_a \rho \mathbf{P}_a}{\operatorname{tr}\left(\rho \mathbf{P}_a\right)}
$$
这就是所谓的量子测量反作用。
让 $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ 成为 $\sigma$-Borel 子集的代数 $\mathbb{R}$ (有关 Borel 的定 义，请参见 Wheeden 和 Zygmund [177] $\sigma$-代数）。㔯。 想起那个 $\mathcal{L}_p(\mathbb{H})$ 是投影算子的集合 $\mathrm{H}$ (有关投影算子的 定义和属性，请参阅第 1.6 节)。在下文中，我们探讨 了投影值度量的概念。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。