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信息理论是对数字信息的量化、存储和通信的科学研究。该领域从根本上是由哈里-奈奎斯特和拉尔夫-哈特利在20世纪20年代以及克劳德-香农在20世纪40年代的作品所确立的。该领域处于概率论、统计学、计算机科学、统计力学、信息工程和电气工程的交叉点。

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• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Hilbert–Schmidt operator

Given an orthonormal basis $\left(\phi_n\right){n=1}^{+\infty}$ of the complex Hilbert space $\mathbb{H}$ and a bounded linear operator $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H})$, we put the Hilbert-Schmidt norm $|\mathbf{T}|{\mathrm{HS}}$ as follows:
$$
|\mathbf{T}|_{\mathrm{HS}}:=\left(\sum_{n=1}^{+\infty}\left|\mathbf{T} \phi_n\right|_{\mathbf{H}}^2\right)^{1 / 2} \leq+\infty .
$$
It can be shown that $|\mathbf{T}|_{\mathrm{HS}}=\left|\mathbf{T}^*\right|_{\mathrm{HS}}$. An operator $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ is said to be a HilbertSchmidt operator if it has a finite Hilbert-Schmidt norm (i. e., $|\mathbf{T}|_{\mathrm{HS}}<+\infty$ ). The space of all Hilbert-Schmidt operators will be denoted by $\mathfrak{H} \mathfrak{S}(\mathbb{H})$. Note that $\mathfrak{H} \mathfrak{S}(\mathbb{H})$ is itself a Hilbert space under the Hilbert-Schmidt inner product $\langle\cdot, \cdot\rangle_{\mathrm{HS}}: \mathfrak{H} \mathfrak{S}(\mathbb{H}) \times \mathfrak{H} \mathfrak{S}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathbb{C}$ defined by
$$
\langle\mathbf{S}, \mathbf{T}\rangle_{\mathrm{HS}}=\sum_n\left\langle\mathbf{S} \phi_n, \mathbf{T} \phi_n\right\rangle_{\mathrm{H}}, \quad \mathbf{S}, \mathbf{T} \in \mathfrak{H} \subsetneq(\mathbb{H})
$$
It appears that both the Hilbert-Schmidt norm $|\cdot|_{H S}$ and the trace defined above are expressed in terms of an orthonormal basis $\left(\phi_n\right)_{n=1}^{+\infty}$. However, a further analysis

(which we shall omit here) shows that they are both independent of the orthonormal basis chosen.

For a finite-dimensional Hilbert space $\mathbb{H}=\mathbb{C}^n$, the polar decomposition of an $n \times n$ real or complex matrix $\mathbf{A}$ is a factorization of the form $\mathbf{A}=\mathbf{U P}$, where $\mathbf{U}$ is a unitary matrix (a rotation matrix) and $\mathbf{P}$ is a positive-semidefinite Hermitian matrix (a scaling of the space along a set of $n$ orthogonal axes), both of size $n \times n$. The polar decomposition of a square matrix $\mathbf{A}$ always exists. In fact, if $\mathbf{A}$ is invertible, the decomposition is unique, and the factor $\mathbf{P}$ will be positive-definite. In that case, $\mathbf{A}$ can be written uniquely in the form $\mathbf{A}=\mathbf{U} e^{\mathbf{X}}$, where $\mathbf{U}$ is unitary and $\mathbf{X}$ is the unique self-adjoint logarithm of the matrix $\mathbf{P}$. The polar decomposition can also be defined as $\mathbf{A}=\mathbf{P U}$ where $\mathbf{P}$ and $\mathbf{U}$ have the same properties as above (but are different matrices, in general, for the same $\mathbf{A})$.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Formulation of quantum systems

In this chapter, we give a concise and yet rigorous mathematical formulation of a generic infinite-dimensional quantum system based on the following set of postulates originated from von Neumann [172] (see also Chang [22-24]). These postulates are commonly accepted by quantum probabilists and quantum physicists alike as the starting point for a systematic study of quantum systems.

Postulate 1. With every quantum system, there is associated a separable complex Hilbert space $\mathbb{H}$ on which a $C^*$ or von Neumann algebras of linear operators $\mathcal{A}$ is defined. This complex Hilbert space $\mathbb{H}$ is called in physics terminology the space of states. The Hilbert space of a composite quantum system can be represented as a tensor product of Hilbert spaces of the component systems involved.

Postulate 2. Given a $C^*$ or von Neumann algebra of operators $\mathcal{A}$ on $\mathbb{H}$ for the quantum system, the space of quantum states $\mathcal{S}(\mathcal{A})$ of the quantum system then consists of all positive trace-class operators $\rho \in \mathcal{A}$ with unit trace, $\operatorname{tr}[\rho]=1$. The pure states are projection operators onto one-dimensional subspaces of $\mathrm{H}$. A state $\rho$ will be called the density operator or density matrix if $\operatorname{tr}[\rho \mathbf{a}]=\operatorname{tr}[\mathbf{a}]$ for all $\mathbf{a} \in \mathcal{A}$.

Postulate 3. An observable of the quantum system is a positive operator-valued measure a defined on a certain Borel measure space $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. Specifically, for each Borel set $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mathbf{a}(B)$ is a self-adjoint linear (but not necessarily bounded) operator on the Hilbert space $\mathbb{H}$.

Postulate 4. A process of measurement in a quantum system is the correspondence between the observable-state pair $(\mathbf{a}, \rho)$ and the probability measure $\mu_{\mathrm{a}}$ on the real Borel measurable space. For every Borel subset $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$, the quantity $0 \leq \mu_{\mathrm{a}}(E) \leq$ 1 is the probability that when a quantum system is in the state $\rho$, the result of the measurement of the observable a belongs to $E$. The expectation value (the mean value) of the observable $\mathbf{a}$ in the state $\rho$ is
$$
\langle\mathbf{a} \mid \rho\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d \mu_{\mathbf{a}}(\lambda),
$$
where $\mu_{\mathrm{a}}(\lambda)=\mu_{\mathrm{a}}((-\infty, \lambda))$ is the distribution function for the probability measure $\mu_{\mathrm{a}}$.

信息论代写

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Hilbert–Schmidt operator

给定正交基础 $\left(\phi_n\right) n=1^{+\infty}$ 复杂的希尔伯特空间 $\mathbb{H}$ 和 有界线性算子 $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ ，我们将希尔伯特施密特范数 $|\mathbf{T}| \mathbf{H S}$ 如下:
$$
|\mathbf{T}|{\mathrm{HS}}:=\left(\sum{n=1}^{+\infty}\left|\mathbf{T} \phi_n\right|{\mathbf{H}}^2\right)^{1 / 2} \leq+\infty $$ 可以证明 $|\mathbf{T}|{\mathrm{HS}}=\left|\mathbf{T}^*\right|{\mathrm{HS}}$. 操作员 $\mathbf{T} \in \mathfrak{B}(\mathbb{H})$ 如果它 具有有限的 Hilbert-Schmidt 范数（即， $|\mathbf{T}|{\mathrm{HS}}<+\infty$ ). 所有 Hilbert-Schmidt 算子的空间将表示为 $\mathfrak{H} \mathfrak{S}(\mathbb{H})$. 注意 $\mathfrak{S} \mathfrak{S}(\mathbb{H})$ 本身就是 Hilbert-Schmidt 内积下的 Hilbert 空间 $\langle\cdot, \cdot\rangle_{\text {HS }}: \mathfrak{H S}(\mathbb{H}) \times \mathfrak{H S}(\mathbb{H}) \rightarrow \mathbb{C}$ 被定 以为
$$
\langle\mathbf{S}, \mathbf{T}\rangle_{\mathrm{HS}}=\sum_n\left\langle\mathbf{S} \phi_n, \mathbf{T} \phi_n\right\rangle_{\mathrm{H}}, \quad \mathbf{S}, \mathbf{T} \in \mathfrak{H} \subsetneq(\mathbb{H})
$$
似平 Hilbert-Schmidt 范数 $|\cdot|{H S}$ 和上面定义的轨迹以正 交基表示 $\left(\phi_n\right){n=1}^{+\infty}$.然而，进一步分析
(我们将在这里省略) 表明它们都独立于所选择的正交基。
对于有限维希尔伯特空间 $\mathbb{H}=\mathbb{C}^n$ ，的极性分解 $n \times n$ 实 矩阵或复矩阵 $\mathbf{A}$ 是形式的因式分解 $A=U P$ ，在哪里 $\mathbf{U}$ 是酉矩阵 (旋转矩阵) 并且 $\mathbf{P}$ 是半正定厄尔米特矩阵 (空间沿一组 $n$ 正交轴)，两者的大小 $n \times n$. 方阵的极 坐标分解 $\mathbf{A}$ 永远存在。事实上，如果 $\mathbf{A}$ 是可逆的，分解 是唯一的，并且因子 $\mathbf{P}$ 将是正定的。在这种情况下， $\mathbf{A}$ 可以唯一地写成这样的形式 $\mathbf{A}=\mathbf{U} e^{\mathbf{x}}$ ，在哪里 $\mathbf{U}$ 是酉 和 $\mathbf{X}$ 是矩阵的唯一自伴对数 $\mathbf{P}$. 极性分解也可以定义为 $\mathbf{A}=\mathbf{P U}$ 在哪里 $\mathbf{P}$ 和 $\mathbf{U}$ 具有与上述相同的属性 (但通 常是不同的矩阵，对于相同的 $\mathbf{A})$.

数学代写|信息论作业代写information theory代考|Formulation of quantum systems

在本章中，我们基于源自冯诺依曼 [172] (另见 Chang [22-24]) 的以下一组假设，给出了通用无限维量子系统 的简洁而严格的数学公式。这些假设通常被量子概率论 者和量子物理学家等人接受为对量子系统进行系统研究 的起点。
公设 1. 每个量子系统都关联一个可分离的复 Hilbert 空 间 $\mathbb{H}$ 在哪个 $C^$ 或线性算子的 von Neumann 代数 $\mathcal{A}$ 被定 义为。这个复杂的希尔伯特空间 $\mathbb{H}$ 在物理学术语中称为 状态空间。复合量子系统的希尔伯特空间可以表示为所 涉及的分量系统的希尔伯特空间的张量积。 假设 2. 给定一个 $C^$ 或算子的驯诺依曼代数 $\mathcal{A}$ 在 $\mathbb{H}$ 对于量 子系统，量子态空间 $\mathcal{S}(\mathcal{A})$ 量子系统的然后由所有积极的 踪迹类算子组成 $\rho \in \mathcal{A}$ 有单位踪迹, $\operatorname{tr}[\rho]=1$. 纯状态 是在一维子空间上的投影算子H. 一个状态 $\rho$ 将被称为密 度算子或密度矩阵，如果 $\operatorname{tr}[\rho \mathbf{a}]=\operatorname{tr}[\mathbf{a}]$ 对全部 $\mathbf{a} \in \mathcal{A}$.
公设 3. 量子系统的一个可观测量是定义在某个波雷尔测 度空间上的正算子值测度 $(\mathbb{R}, \mathcal{B}(\mathbb{R}))$. 具体来说，对于每 个 Borel 集 $B \in \mathcal{B}(\mathbb{R}), \mathbf{a}(B)$ 是希尔伯特空间上的自伴 线性 (但不一定有界) 算子 $\mathbb{H}$.
公设 4. 量子系统中的测量过程是可观测态对之间的对应 关系 $(\mathbf{a}, \rho)$ 和概率测度 $\mu_{\mathrm{a}}$ 在真正的 Borel 可测空间上。 对于每个 Borel 子集 $E \in \mathcal{B}(\mathbb{R})$ ， 数量 $0 \leq \mu_{\mathrm{a}}(E) \leq 1$ 是当一个量子系统处于状态时的概率 $\rho$, 可观测 $a$ 的测量 结果属于 $E$. 可观察值的期望值 (均值) $\mathbf{a}$ 在该州 $\rho$ 是
$$
\langle\mathbf{a} \mid \rho\rangle=\int_{-\infty}^{\infty} \lambda d \mu_{\mathbf{a}}(\lambda)
$$
在哪里 $\mu_{\mathrm{a}}(\lambda)=\mu_{\mathrm{a}}((-\infty, \lambda))$ 是概率测度的分布函数 $\mu_{\mathrm{a}}$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。