## 计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|ECE867

2023年2月3日

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## 计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Comparison

The extension principle has been originally defined for functions. The approaches presented in Sect. 2.5.2 deal mainly with operators (set operators, relationships between sets, etc.). Links between extension principle and combination of $\alpha$-cuts using Eq. $2.80$ have been established in [12]. Let $f$ be a function from $\mathcal{U}_1 \times \ldots \times \mathcal{U}_n$ to $\mathcal{V}$, and $R_f$ a set operator defined as:
$$R_f\left(X_1, X_2, \ldots X_n\right)=\left{f\left(x_1, x_2, \ldots x_n\right) \mid x_1 \in X_1, \ldots x_n \in X_n\right},$$
where $X_1, \ldots X_n$ are subsets of $\mathcal{U}_1, \ldots \mathcal{U}_n$. Then the extension of $R_f$ using Eq. $2.80$ coincides with Zadeh’s extension of $f$ (Eq. 2.72).

Other links exist between definitions of Sect. 2.5.2. For instance, if $R_B$ is a crisp relation taking values in ${0,1}$, its extension using Eq. $2.85$ is a value in $[0,1]$ and is equivalent to the two fuzzification procedures given by Eqs. $2.80$ and $2.81$.

Let us take the example of extending union between sets, using the methods of Sect. 2.5.2. Let $\mu$ and $v$ be two fuzzy sets on $\mathcal{U}$. Using the integration over $\alpha$-cuts, we get:
\begin{aligned} (\mu \cup v)(x) & =\int_0^1\left(\mu_\alpha \cup v_\alpha\right)(x) d \alpha \ & =\int_0^{\max [\mu(x), v(x)]} 1 d \alpha \ & =\max [\mu(x), v(x)], \end{aligned}
since $\left(\mu_\alpha \cup v_\alpha\right)(x)=1$ iff $\mu(x) \geq \alpha$ or $v(x) \geq \alpha$. This extension leads exactly to the fuzzy union as defined originally in [34]. Exactly the same result is obtained using other fuzzification methods, e.g., with Eq. $2.80$ or Eq. $2.85$.

## 计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Introducing the Volume of the Overlapping Domain

However, this form is not always adequate for image processing purposes since it does not include any spatial information. This may even lead to counter-intuitive results, as the expression $\sup _{x \in \mathcal{S}} t[\mu(x), \nu(x)]$ only represents the maximum height of the intersection. Although it is generally low for fuzzy sets that have almost disjoint supports, its value does not account for different overlapping situations, as illustrated in Fig. $3.3$ (for sake of clarity, $\mathcal{S}$ is represented in 1D only).

The degree of intersection and of non-intersection can therefore be reformulated in order to better represent the notion of spatial overlapping. Another solution, which may be better for some applications, consists in defining a degree of intersection by considering the fuzzy hypervolume $V_n$ (in a space of dimension $n$ ) of the intersection. This also corresponds to a translation process, in the sense that we have:
$$X \cap Y=\emptyset \Leftrightarrow V_n(X \cap Y)=0 .$$
The hypervolume of a fuzzy set is simply defined using the classical fuzzy cardinality. This provides for a fuzzy set $\mu$ (having bounded support) in the discrete case:
$$V_n(\mu)=\sum_{x \in \mathcal{S}} \mu(x),$$
and in the continuous case:
$$V_n(\mu)=\int_{x \in \mathcal{S}} \mu(x) d x .$$

# 图像处理代考

## 计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Comparison

2.80已在 [12] 中建立。让 $f$ 是一个函数 $\mathcal{U}1 \times \ldots \times \mathcal{U}_n$ 到V，和 $R_f$ 一个集合运算符定义为: 在哪里 $X_1, \ldots X_n$ 是子集 $\mathcal{U}_1, \ldots \mathcal{U}_n$.然后扩展 $R_f$ 使用 方程式。2.80恰逢 Zadeh 的扩展 $f$ (等式 2.72)。 Sect 的定义之间存在其他链㢺。2.5.2. 例如，如果 $R_B$ 是一个清晰的关系，取值 0,1 ，它的扩展使用方程式。 $2.85$ 是一个值 $[0,1]$ 并且等效于方程式给出的两个模糊 化过程。 $2.80$ 和 $2.81$. 让我们以使用 Sect 的方法扩展集合之间的联合为例。 2.5.2. 让 $\mu$ 和 $v$ 是两个模糊集 $\mathcal{U}$. 使用集成 $\alpha$-削减，我们得 到: $$(\mu \cup v)(x)=\int_0^1\left(\mu\alpha \cup v_\alpha\right)(x) d \alpha \quad=\int_0^{\max [\mu(x)}$$

## 计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Introducing the Volume of the Overlapping Domain

$$V_n(\mu)=\int_{x \in \mathcal{S}} \mu(x) d x$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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