## 计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|BIOC062

2023年2月3日

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## 计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Degree of Union and Covering

When considering the union, the problem is posed in different terms from what is done for intersection. Here, it is not interesting to look to which degree two sets have a non-empty union, for this property is true whenever at least one of the two fuzzy sets is not empty. Instead, what is useful is the degree to which the union of two sets covers the whole space. This will be useful, for instance, for looking at the law of excluded-middle.
In the crisp case, we have for two sets $X$ and $Y$ :
$$X \cup Y=\mathcal{S} \Leftrightarrow \forall x \in \mathcal{S}, x \in X \cup Y .$$
In the fuzzy sets case, this equation is replaced (again using the formal translation principle) by:
$$\mu_{\text {union }}(\mu, v)=\inf _{x \in \mathcal{S}} T[\mu(x), v(x)],$$
where $T$ is a disjunction (often a t-conorm), yielding a degree in $[0,1]$. The same result (and in particular with $T=\max$ ) is obtained using the other fuzzification principles.
The properties of this degree of union are:

• Consistency with the binary definition.
• Symmetry: $\forall(\mu, v) \in \mathcal{F}^2, \mu_{\text {union }}(\mu, v)=\mu_{\text {union }}(v, \mu)$.
• If one of the sets is empty ( $\forall x \in \mathcal{S}, v(x)=0$ ), then $\mu_{\text {union }}$ is always 0 for bounded support fuzzy sets.
• If one of the sets is equal to $\mathcal{S}(\forall x \in \mathcal{S}, v(x)=1), \mu_{\text {union }}$ is always equal to 1 .
• Invariance with respect to rigid geometrical transformations (translation, rotation).

Let us now look at the excluded-middle law. In the crisp case, we have for any set $X$ :
$$X \cup X^C=\mathcal{S},$$
which is a set equation equivalent to the logical principle of excluded-middle (in the sense, for instance, that the truth can be in $X$ or in $X^c$, but there is no other possibility). In the fuzzy case, the degree of union between any fuzzy set $\mu$ and its complement is:
$$\mu_{\text {union }}(\mu, c(\mu))=\inf _{x \in \mathcal{S}} T[\mu(x), 1-\mu(x)],$$
if we take $c(a)=1-a$ for the fuzzy complementation.

## 计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Inclusion from Other Set Operations

In the crisp case, for two sets $X$ and $Y$, the inclusion is defined as
\begin{aligned} X \subseteq Y & \Leftrightarrow X \cap Y^C=\emptyset \ & \Leftrightarrow X^C \cup Y=\mathcal{S} . \end{aligned}
These two equivalences show that inclusion is simply expressed either by an intersection or by a union. The extension to fuzzy sets can therefore directly use the degrees of intersection and union as defined previously.
$$\mu_{\text {Inc }}(\mu, v)=\mu_{\text {union }}(c(\mu), v)=\inf _{x \in \mathcal{S}} T[c(\mu(x)), v(x)],$$
where $T$ is a t-conorm.

Using the degree of intersection yields the following degree of inclusion of $\mu$ in $v$ :
$$\mu_{\text {Inc }}(\mu, v)=c\left[\mu_{\text {int }}(\mu, c(v))\right]=c\left[\sup {x \in \mathcal{S}} t[\mu(x), c(v(x))]\right],$$ where $t$ is a t-norm and $c$ a fuzzy complementation. Actually, due to the duality between t-norms and t-conorms, these two definitions are equivalent. Let $t$ and $T$ be a pair of dual t-norm and t-conorm according to the complementation $c$. Then we have: $$\inf {x \in \mathcal{S}} T[c(\mu(x)), v(x)]=\inf {x \in \mathcal{S}} c[t[\mu(x), c(v(x))]]=c\left[\sup {x \in \mathcal{S}} t[\mu(x), c(v(x))]\right],$$
which proves the equivalence between both formulas.
This definition has the same drawback as those for the degrees of intersection and union, which may, basically, depend on one point only. Here again, the spatial coverage between both fuzzy sets could be taken into account.

The properties of the degree of inclusion are directly derived from those of intersection and union:

• Consistency with the binary definition.
• If $\mu$ is empty $(\forall x \in \mathcal{S}, \mu(x)=0)$, then $\mu_{\text {Inc }}(\mu, v)$ always equals 1 .
• If $v$ is empty, then $\mu_{I n c}(\mu, v)$ is equal to 0 for normalized fuzzy sets.
• If $\mu$ is equal to $\mathcal{S}(\forall x \in \mathcal{S}, \mu(x)=1), \mu_{\operatorname{Inc}}(\mu, v)$ is equal to 0 for bounded support fuzzy sets.
• If $v$ is equal to $\mathcal{S}, \mu_{I n c}(\mu, v)$ is always equal to 1 .
• Invariance with respect to geometrical transformations (translation, rotation).

# 图像处理代考

## 计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Degree of Union and Covering

$$X \cup Y=\mathcal{S} \Leftrightarrow \forall x \in \mathcal{S}, x \in X \cup Y .$$

$$\mu_{\text {union }}(\mu, v)=\inf _{x \in \mathcal{S}} T[\mu(x), v(x)]$$

• 与二进制定义一致。
• 对称：
$$\forall(\mu, v) \in \mathcal{F}^2, \mu_{\text {union }}(\mu, v)=\mu_{\text {union }}(v, \mu) \text {. }$$
• 如果其中一个集合为空 $(\forall x \in \mathcal{S}, v(x)=0$ ），然吕 $\mu_{\text {union }}$ 对于有界支持模糊集始终为 0 。
• 如果其中一组等于 $\mathcal{S}(\forall x \in \mathcal{S}, v(x)=1), \mu_{\text {union }}$ 总是等于 1 。
• 关于刚性几何变换 (平移、旋转) 的不变性。
现在让我们看看排中律。在脆的情况下，我们有任何集 合 $X$ :
$$X \cup X^C=\mathcal{S},$$
这是一个等价于排中逻辑原理的集合方程 (例如，在某 种意义上，真理可以在 $X$ 或在 $X^c$ ，但没有其他可能 性）。在模糊情况下，任何模朝集之间的联合度 $\mu$ 它的 补充是:
$$\mu_{\text {union }}(\mu, c(\mu))=\inf _{x \in \mathcal{S}} T[\mu(x), 1-\mu(x)] \text {, }$$
如果我们拿 $c(a)=1-a$ 用于模糊互补。

## 计算机代写|图像处理代写Image Processing代考|Inclusion from Other Set Operations

$$X \subseteq Y \Leftrightarrow X \cap Y^C=\emptyset \quad \Leftrightarrow X^C \cup Y=\mathcal{S} .$$

$\mu_{\mathrm{Inc}}(\mu, v)=\mu_{\text {union }}(c(\mu), v)=\inf {x \in \mathcal{S}} T[c(\mu(x)), v(x)]$ 在哪里 $T$ 是一个t-conorm。 使用交叉度产生以下包含度 $\mu$ 在 $v$ : $\mu{\mathrm{Inc}}(\mu, v)=c\left[\mu_{\mathrm{int}}(\mu, c(v))\right]=c[\sup x \in \mathcal{S} t[\mu(x), c$

$$\inf x \in \mathcal{S} T[c(\mu(x)), v(x)]=\inf x \in \mathcal{S} c[t[\mu(x), c(v(x)$$

• 与二进制定义一致。
• 如果 $\mu$ 是空的 $(\forall x \in \mathcal{S}, \mu(x)=0)$ ，然后 $\mu_{\text {Inc }}(\mu, v)$ 总是等于 1 。
• 如果 $v$ 是空的，那么 $\mu_{\text {Inc }}(\mu, v)$ 对于归一化模糊 集，等于 0 。
• 如果 $\mu$ 等于 $\mathcal{S}(\forall x \in \mathcal{S}, \mu(x)=1), \mu_{\mathrm{Inc}}(\mu, v)$ 对于有界支持模糊集等于 0 。
• 如果 $v$ 等于 $\mathcal{S}, \mu_{\text {Inc }}(\mu, v)$ 总是等于 1 。
• 关于几何变换 (平移、旋转) 的不变性。

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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