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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来，图论已经成为各种学科的重要数学工具，从运筹学和化学到遗传学和语言学，从电气工程和地理到社会学和建筑。同时，它本身也作为一门有价值的数学学科出现。

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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Packing and covering

Much of the charm of König’s and Hall’s theorems in Section 2.1 lies in the fact that they guarantee the existence of the desired matching as soon as some obvious obstruction does not occur. In König’s theorem, we can find $k$ independent edges in our graph unless we can cover all its edges by fewer than $k$ vertices (in which case it is obviously impossible).
More generally, if $G$ is an arbitrary graph, not necessarily bipartite, and $\mathcal{H}$ is any class of graphs, we might compare the largest number $k$ of graphs from $\mathcal{H}$ (not necessarily distinct) that we can pack disjointly into $G$ with the smallest number $s$ of vertices of $G$ that will cover all its subgraphs in $\mathcal{H}$. If $s$ can be bounded by a function of $k$, i.e. independently of $G$, we say that $\mathcal{H}$ has the Erdős-Pósa property. (Thus, formally, $\mathcal{H}$ has this property if there exists an $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ function $k \mapsto f(k)$ such that, for every $k$ and $G$, either $G$ contains $k$ disjoint subgraphs each isomorphic to a graph in $\mathcal{H}$, or there is a set $U \subseteq V(G)$ of at most $f(k)$ vertices such that $G-U$ has no subgraph in $\mathcal{H}$.)

Our aim in this section is to prove the theorem of Erdős and Pósa that the class of all cycles has this property: we shall find a function $f$ (about $4 k \log k$ ) such that every graph contains either $k$ disjoint cycles or a set of at most $f(k)$ vertices covering all its cycles.

We begin by proving a stronger assertion for cubic graphs. For $k \in \mathbb{N}$, put
$$
r_k:=\log k+\log \log k+4 \quad \text { and } \quad s_k:= \begin{cases}4 k r_k & \text { if } k \geqslant 2 \ 1 & \text { if } k \leqslant 1\end{cases}
$$

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Tree-packing and arboricity

In this section we consider packing and covering in terms of edges rather than vertices. How many edge-disjoint spanning trees can we find in a given graph? And how few trees in it, not necessarily edge-disjoint, suffice to cover all its edges?

To motivate the tree-packing problem, assume for a moment that our graph represents a communication network, and that for every choice of two vertices we want to be able to find $k$ edge-disjoint paths between them. Menger’s theorem (3.3.6 (ii)) in the next chapter will tell us that such paths exist as soon as our graph is $k$-edge-connected, which is clearly also necessary. This is a good theorem, but it does not tell us how to find those paths; in particular, having found them for one pair of endvertices we are not necessarily better placed to find them for another pair. If our graph has $k$ edge-disjoint spanning trees, however, there will always be $k$ canonical such paths, one in each tree. Once we have stored those trees in our computer, we shall always be able to find the $k$ paths quickly, for any given pair of endvertices.

When does a graph $G$ have $k$ edge-disjoint spanning trees? If it does, it clearly must be $k$-edge-connected. The converse, however, is easily seen to be false (try $k=2$ ); indeed it is not even clear at that any edge-connectivity will imply the existence of $k$ edge-disjoint spanning trees. (But see Corollary 2.4.2 below.)

Here is another necessary condition. If $G$ has $k$ edge-disjoint spanning trees, then with respect to any partition of $V(G)$ into $r$ sets, every spanning tree of $G$ has at least $r-1$ cross-edges, edges whose ends lie in different partition sets (why?). Thus if $G$ has $k$ edge-disjoint spanning trees, it has at least $k(r-1)$ cross-edges. This condition is also sufficient:

Theorem 2.4.1. (Nash-Williams 1961; Tutte 1961)
A multigraph contains $k$ edge-disjoint spanning trees if and only if for every partition $P$ of its vertex set it has at least $k(|P|-1)$ cross-edges.
Before we prove Theorem 2.4.1, let us note a surprising corollary: to ensure the existence of $k$ edge-disjoint spanning trees, it suffices to raise the edge-connectivity to just $2 k$ :

Corollary 2.4.2. Every $2 k$-edge-connected multigraph $G$ has $k$ edgedisjoint spanning trees.

Proof. Every set in a vertex partition of $G$ is joined to other partition sets by at least $2 k$ edges. Hence, for any partition into $r$ sets, $G$ has at least $\frac{1}{2} \sum_{i=1}^r 2 k=k r$ cross-edges. The assertion thus follows from Theorem 2.4.1.

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Packing and covering

第2.1节中König和Hall定理的大部分魅力在于，只要没有出现一些明显的障碍，它们就保证了期望匹配的存在。在König定理中，我们可以找到 $k$ 图中的独立边除非我们能用小于的数覆盖所有边 $k$ 顶点(在这种情况下显然是不可能的)。
更一般地说，如果 $G$ 一个任意的图，不一定是二部图吗 $\mathcal{H}$ 是不是任何一类图，我们可以比较的数量最大 $k$ 从 $\mathcal{H}$ (不一定是不同的)我们可以把它们分开装进去 $G$ 用最小的数 $s$ 的顶点 $G$ 这将涵盖它所有的子图 $\mathcal{H}$． 如果 $s$ 能被的函数限定吗 $k$独立于 $G$，我们说 $\mathcal{H}$ 具有Erdős-Pósa属性。(因此，正式地说， $\mathcal{H}$ 如果存在，有这个属性吗 $\mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}$ 功能 $k \mapsto f(k)$ 这样，对于每一个 $k$ 和 $G$或者 $G$ 包含 $k$ 不相交的子图与中的图同构 $\mathcal{H}$，或者有一组 $U \subseteq V(G)$ 最多的 $f(k)$ 这样的顶点 $G-U$ 没有子图吗 $\mathcal{H}$.）

本节的目的是证明Erdős和Pósa的定理，证明所有循环的类具有以下性质:我们将找到一个函数$f$(约$4 k \log k$)，使得每个图包含$k$个不相交的循环或最多$f(k)$个覆盖其所有循环的顶点集。

我们首先证明三次图的一个更强的断言。对于$k \in \mathbb{N}$，请输入
$$
r_k:=\log k+\log \log k+4 \quad \text { and } \quad s_k:= \begin{cases}4 k r_k & \text { if } k \geqslant 2 \ 1 & \text { if } k \leqslant 1\end{cases}
$$

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Tree-packing and arboricity

在本节中，我们将根据边缘而不是顶点来考虑填充和覆盖。在一个给定的图中我们能找到多少棵不相交的生成树?又有多少树，不一定是边不相交的，足以覆盖所有的边呢?

为了激发树形布局问题，暂时假设我们的图表示一个通信网络，并且对于每个两个顶点的选择，我们都希望能够找到$k$它们之间的边不相交路径。下一章的门格尔定理(3.3.6 (ii))将告诉我们，只要我们的图是$k$ -边连通的，就会存在这样的路径，这显然也是必要的。这是一个很好的定理，但它并没有告诉我们如何找到那些路径;特别是，在一对端点上找到了它们，我们不一定能更好地在另一对端点上找到它们。如果我们的图有$k$条边不相交的生成树，那么总会有$k$条这样的典型路径，每棵树中有一条。一旦我们将这些树存储在计算机中，对于任何给定的端点对，我们总是能够快速地找到$k$路径。

什么时候一个图$G$有$k$边不相交生成树?如果是这样，它显然必须是$k$ -edge连接的。然而，相反的观点很容易被认为是错误的(试试$k=2$);事实上，我们甚至不清楚任何边连通性是否意味着$k$边不相交生成树的存在。(但请参见下面的推论2.4.2。)

这是另一个必要条件。如果$G$有$k$个边不相交的生成树，那么对于$V(G)$的任意划分为$r$个集，$G$的每个生成树至少有$r-1$个交叉边，这些交叉边的端点位于不同的划分集(为什么?)因此，如果$G$有$k$条不相交的生成树，那么它至少有$k(r-1)$条交叉边。这个条件也是充分的:

定理2.4.1。(纳什-威廉姆斯1961;Tutte, 1961)
一个多图包含$k$条边不相交的生成树当且仅当其顶点集的每个分区$P$至少有$k(|P|-1)$条交叉边。
在我们证明定理2.4.1之前，让我们注意到一个令人惊讶的推论:为了确保$k$边不相交生成树的存在，只要将边连通性提高到$2 k$就足够了:

推论2.4.2。每一个$2 k$ -边连通多图$G$都有$k$棵不相交的生成树。

证明。$G$的顶点分区中的每个集至少通过$2 k$条边与其他分区集连接。因此，对于任何划分为$r$集合的分区，$G$至少有$\frac{1}{2} \sum_{i=1}^r 2 k=k r$个交叉边。因此，这个断言是从定理2.4.1推导出来的。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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