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在数学中，图论是对图的研究，它是用来模拟对象之间成对关系的数学结构。这里，图由顶点（也称为节点或点）组成，这些顶点由边（也称为链接或线）连接。

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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Thickness

When designing electrical circuits, such as the circuit board within a computer, it is important that wires do not cross. As we have seen, if there are too many connections between the points then crossings are necessary on a plane. To combat this, we can break up the wires into different layers, each one of which contains no crossings. Since each new layer would incur additional cost, we want to minimize the number of layers necessary. In graph theoretic terms, we want to decompose the graph into spanning subgraphs, each of which are planar, using the smallest number of subgraphs possible. This minimum value is called the thickness of a graph.

Definition 7.22 Let $T=\left{H_1, H_2, \ldots, H_t\right}$ be a set of spanning subgraphs of $G$ so that each $H_i$ is planar and every edge of $G$ appears in exactly one graph from $T$. The thickness of a graph $G$, denoted $\theta(G)$, is the minimum size of $T$ among all possible such collections.

Clearly $\theta(G)=1$ if and only if $G$ is planar, since $T$ would contain only $G$ itself. Below is a decomposition of $K_6$ into two planar spanning subgraphs and since we know that $K_6$ is not planar we have shown $\theta\left(K_6\right)=2$.

Corollary 7.23 Let $G$ be a connected simple graph with $n$ vertices and $m$ edges. Then
$$
\theta(G) \geq\left\lceil\frac{m}{3 n-6}\right\rceil
$$
Corollary 7.24 Let $G$ be a connected simple bipartite graph with $n$ vertices and $m$ edges. Then
$$
\theta(G) \geq\left\lceil\frac{m}{2 n-4}\right\rceil
$$
While a general formula is not known for the thickness of a graph, the theorem below does establish the thickness for a complete graph (and so could serve as an upper bound for any graph on $n$ vertices). This result is based on the work from $[1],[3],[4]$, and $[81]$.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|A Set Theory

While graphs are defined in terms of a set of vertices and edges, and these two sets uniquely determine the graph, this section will focus more generally on the basics of set theory.

Definition A.1 A set is a collection of objects. We denote sets with capital letters $(A, B, C, \ldots)$ and the objects within a set $A$ are often called elements, denoted $x \in A$. If $x$ is not an element of $A$ we write $x \notin A$.
Suppose $A$ is the set of digits, that is the set of integers from 0 to 9 . We could write this as
$$
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
$$
which is called roster notation since we are explicitly listing the elements in the set. We could also write $A$ in set-builder notation as follows:
$$
A={x \in \mathbb{Z}: 0 \leq x \leq 9}
$$
Here we are giving a rule for when an element belongs in a set. The advantage of set-builder notation is when there are a large number of elements in the set and listing them would be excessively time consuming; however, this only works when there is a clear way to describe the elements in the set. For small sets, roster notation is preferred.

There are numerous operations one can perform on a set. We will be concerned with a handful of these, mainly unions, intersections, complements, and subsets. To do this, we must first define our domain for a given problem, which is called the universal set.

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Thickness

在设计电路时，例如计算机内的电路板，重要的是电线不要交叉。正如我们所见，如果点之间的连接太多，则需要在平面上进行交叉。为了解决这个问题，我们可以将电线分成不同的层，每一层都不包含交叉点。由于每个新层都会产生额外成本，因此我们希望尽量减少所需的层数。在图论术语中，我们希望将图分解为跨越子图，每个子图都是平面的，使用尽可能少的子图。这个最小值称为图形的厚度。

定义 7.22 设 $T=\left{H_1, H_2, \ldots, H_t\right}$ 是一组 $G$ 的生成子图，使得每个 $H_i$ 都是平面的并且 $G$ 的每条边都恰好出现在一个来自 $T$ 的图表。图 $G$ 的厚度表示为 $\theta(G)$，是所有可能的集合中 $T$ 的最小尺寸。

显然 $\theta(G)=1$ 当且仅当 $G$ 是平面的，因为 $T$ 将只包含 $G$ 本身。下面是 $K_6$ 分解为两个平面跨越子图，因为我们知道 $K_6$ 不是平面的，所以我们已经证明 $\theta\left(K_6\right)=2$。

推论 7.23 设 $G$ 是一个具有 $n$ 个顶点和 $m$ 条边的连通简单图。然后
$$
\theta(G) \geq\left\lceil\frac{m}{3 n-6}\right\rceil
$$
推论 7.24 设 $G$ 是一个连通的简单二分图，有 $n$ 个顶点和 $ m$ 边。然后
$$
\theta(G) \geq\left\lceil\frac{m}{2 n-4}\right\rceil
$$
虽然对于图的厚度不知道一般公式，但下面的定理确实成立完整图的厚度（因此可以用作 $n$ 个顶点上的任何图的上限）。此结果基于 $[1]、[3]、[4]$ 和 $[81]$ 的工作。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|A Set Theory

虽然图是根据一组顶点和边定义的，并且这两个集合唯一地确定了图，但本节将更广泛地关注集合论的基础知识。

定义 A.1 集合是对象的集合。我们用大写字母 $(A, B, C, \ldots)$ 表示集合，并且集合 $A$ 中的对象通常称为元素，表示为 $x \in A$。如果 $x$ 不是 $A$ 的元素，我们写 $x \notin A$。
假设 $A$ 是数字集，即从 0 到 9 的整数集。我们可以将其写为
$$
A={0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
$$
这称为花名册表示法，因为我们明确列出了集合中的元素。我们也可以将 $A$ 写成如下的集合生成器符号：
$$
A={x \in \mathbb{Z}: 0 \leq x \leq 9}
$$
这里我们给出了一个元素何时属于一个集合的规则。集合构建器标记法的优点是当集合中有大量元素时列出它们会非常耗时；然而，这只有在有明确的方法来描述集合中的元素时才有效。对于小集合，花名册符号是首选。

可以对一组执行许多操作。我们将关注其中的一小部分，主要是并集、交集、补集和子集。为此，我们必须首先为给定问题定义我们的域，称为通用集。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。