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图论Graph Theory在数学和计算机科学领域，图论是对图的研究，涉及边和顶点之间的关系。它是一门热门学科，在计算机科学、信息技术、生物科学、数学和语言学中都有应用。近年来，图论已经成为各种学科的重要数学工具，从运筹学和化学到遗传学和语言学，从电气工程和地理到社会学和建筑。同时，它本身也作为一门有价值的数学学科出现。

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数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Matching in bipartite graphs

For this whole section, we let $G=(V, E)$ be a fixed bipartite graph with bipartition ${A, B}$. Vertices denoted as $a, a^{\prime}$ etc. will be assumed to lie in $A$, vertices denoted as $b$ etc. will lie in $B$.

How can we find a matching in $G$ with as many edges as possible? Let us start by considering an arbitrary matching $M$ in $G$. A path in $G$ which starts in $A$ at an unmatched vertex and then contains, alternately, edges from $E \backslash M$ and from $M$, is an alternating path with respect to $M$. An alternating path $P$ that ends in an unmatched vertex of $B$ is called an augmenting path (Fig. 2.1.1), because we can use it to turn $M$ into a larger matching: the symmetric difference of $M$ with $E(P)$ is again a matching (consider the edges at a given vertex), and the set of matched vertices is increased by two, the ends of $P$.

Alternating paths play an important role in the practical search for large matchings. In fact, if we start with any matching and keep applying augmenting paths until no further such improvement is possible, the matching obtained will always be an optimal one, a matching with the largest possible number of edges (Exercise 1). The algorithmic problem of finding such matchings thus reduces to that of finding augmenting paths – which is an interesting and accessible algorithmic problem.

Our first theorem characterizes the maximal cardinality of a matching in $G$ by a kind of duality condition. Let us call a set $U \subseteq V$ a (vertex) cover of $E$ if every edge of $G$ is incident with a vertex in $U$.

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Second proof

Second proof. We apply induction on $|A|$. For $|A|=1$ the assertion is true. Now let $|A| \geqslant 2$, and assume that the marriage condition is sufficient for the existence of a matching of $A$ when $|A|$ is smaller.
If $|N(S)| \geqslant|S|+1$ for every non-empty set $S \varsubsetneqq A$, we pick an edge $a b \in G$ and consider the graph $G^{\prime}:=G-{a, b}$. Then every non-empty set $S \subseteq A \backslash{a}$ satisfies
$$
\left|N_{G^{\prime}}(S)\right| \geqslant\left|N_G(S)\right|-1 \geqslant|S|,
$$
so by the induction hypothesis $G^{\prime}$ contains a matching of $A \backslash{a}$. Together with the edge $a b$, this yields a matching of $A$ in $G$.

Suppose now that $A$ has a non-empty proper subset $A^{\prime}$ with $\left|B^{\prime}\right|=$ $\left|A^{\prime}\right|$ for $B^{\prime}:=N\left(A^{\prime}\right)$. By the induction hypothesis, $G^{\prime}:=G\left[A^{\prime} \cup B^{\prime}\right]$ contains a matching of $A^{\prime}$. But $G-G^{\prime}$ satisfies the marriage condition too: for any set $S \subseteq A \backslash A^{\prime}$ with $\left|N_{G-G^{\prime}}(S)\right|<|S|$ we would have $\left|N_G\left(S \cup A^{\prime}\right)\right|<\left|S \cup A^{\prime}\right|$, contrary to our assumption. Again by induction, $G-G^{\prime}$ contains a matching of $A \backslash A^{\prime}$. Putting the two matchings together, we obtain a matching of $A$ in $G$.

For our last proof, let $H$ be a spanning subgraph of $G$ that satisfies the marriage condition and is edge-minimal with this property. Note that $d_H(a) \geqslant 1$ for every $a \in A$, by the marriage condition with $S={a}$.

图论代考

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Matching in bipartite graphs

对于这整个部分，我们设$G=(V, E)$是一个具有两分割${A, B}$的固定二部图。表示为$a, a^{\prime}$等的顶点将假定位于$A$，表示为$b$等的顶点将位于$B$。

我们如何在$G$中找到尽可能多边的匹配?让我们从考虑$G$中的任意匹配$M$开始。$G$中的路径从$A$的一个不匹配的顶点开始，然后交替包含来自$E \backslash M$和$M$的边，这是一条相对于$M$的交替路径。以未匹配的$B$顶点为终点的交替路径$P$称为增强路径(图2.1.1)，因为我们可以使用它将$M$转换为更大的匹配:$M$与$E(P)$的对称差值再次成为匹配(考虑给定顶点的边)，并且匹配顶点的集合增加两个，即$P$的端点。

交替路径在大匹配的实际搜索中起着重要作用。事实上，如果我们从任何匹配开始，并继续应用增强路径，直到不可能进一步改进为止，所获得的匹配将始终是最优的，即具有最大可能数量的边的匹配(练习1)。因此，查找此类匹配的算法问题将简化为查找增强路径的算法问题-这是一个有趣且可访问的算法问题。

第一个定理用一种对偶条件刻画了$G$中匹配的最大基数。如果$G$的每条边都与$U$的一个顶点相关联，我们称集合$U \subseteq V$为$E$的一个(顶点)覆盖。

数学代写|图论作业代写Graph Theory代考|Second proof

第二个证明。我们对$|A|$应用归纳法。对于$|A|=1$，断言为真。现在设$|A| \geqslant 2$，并假设当$|A|$较小时，婚姻条件足以满足$A$匹配的存在。
如果$|N(S)| \geqslant|S|+1$对于每个非空集$S \varsubsetneqq A$，我们选择一条边$a b \in G$并考虑图$G^{\prime}:=G-{a, b}$。那么每一个非空集合$S \subseteq A \backslash{a}$都满足
$$
\left|N_{G^{\prime}}(S)\right| \geqslant\left|N_G(S)\right|-1 \geqslant|S|,
$$
所以根据归纳假设$G^{\prime}$包含了$A \backslash{a}$的匹配。与边$a b$一起，这产生了$G$中$A$的匹配。

现在假设$A$有一个非空的适当子集$A^{\prime}$，其中$\left|B^{\prime}\right|=$$\left|A^{\prime}\right|$表示$B^{\prime}:=N\left(A^{\prime}\right)$。根据归纳假设，$G^{\prime}:=G\left[A^{\prime} \cup B^{\prime}\right]$包含了$A^{\prime}$的匹配项。但是$G-G^{\prime}$也满足了婚姻条件:对于任何一个包含$\left|N_{G-G^{\prime}}(S)\right|<|S|$的集合$S \subseteq A \backslash A^{\prime}$，我们将得到$\left|N_G\left(S \cup A^{\prime}\right)\right|<\left|S \cup A^{\prime}\right|$，这与我们的假设相反。同样通过归纳，$G-G^{\prime}$包含$A \backslash A^{\prime}$的匹配项。将这两个匹配放在一起，我们在$G$中得到$A$的匹配。

对于我们的最后一个证明，设$H$是$G$的一个生成子图，它满足婚姻条件并且具有这个性质是边极小的。注意$d_H(a) \geqslant 1$对于每一个$a \in A$，由婚姻条件与$S={a}$对应。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。