# 物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Zero Angular Momentum Observers in the Kerr Spacetime

#### Doug I. Jones

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## 物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Zero Angular Momentum Observers in the Kerr Spacetime

Let the observers with zero angular momentum (called ZAMOs) have four velocity $u^\alpha$. Therefore,
$$L=u_\alpha \phi^\alpha=0$$
This yields
$$g_{\phi t} \dot{t}+g_{\phi \phi} \dot{\phi}=0$$
[dot indicates differentiation with respect to proper time $\tau$ ].
Also, suppose the observers are moving in the $\phi$ direction with angular velocity $\Omega \equiv \frac{d \phi}{d t}=\omega$. We note that ZAMOs acquire an angular velocity equal to $\omega=-\frac{g_\phi \phi}{g_{\phi \phi}}$. Hence, one obtain
\begin{aligned} \omega & =-\frac{g_{t \phi}}{g_{\phi \phi}}=\frac{2 m a r}{\Sigma}=\frac{2 m a r}{\left[\left(r^2+a^2\right)^2-a^2 \sin ^2 \theta\left(r^2-2 m r+a^2\right)\right]} \ & =\frac{a\left(r^2+a^2-\triangle\right)}{\left[\left(r^2+a^2\right)^2-a^2 \sin ^2 \theta \triangle\right]} . \end{aligned}
Since
$$\left(r^2+a^2\right)^2>a^2 \sin ^2 \theta\left(r^2-2 m r+a^2\right)$$
we always get $\frac{\omega}{m a}>0$. Thus, the signs of angular velocity and the angular momentum $m a$ of the black hole are same, i.e., the ZAMOs rotate with the black hole. Once a viewer moves toward the black hole, this angular velocity increases. This is a remarkable characteristic of the Kerr black hole that the motion of the ZAMO in the gravitational field of the Kerr black hole is corotating with the black hole. This feature is called the dragging of inertial frames.
For large $r, \omega \simeq \frac{2 a m}{r^3}$ and the dragging vanishes finally at infinity.

## 物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Stationary Observer in the Kerr Spacetime

A stationary observer is an observer who does not notice any time disparity in the black hole’s gravitational field. The two obvious Killing vectors of the Kerr metric are $t^\alpha=\frac{\partial x^\alpha}{\partial t}$ and $\phi^\alpha=\frac{\partial x^\alpha}{\partial \phi}$ (known as time translation Killing vector $t^\alpha$ and the azimuthal Killing vector $\phi^\alpha$ ). Then, in general, the linear combination $a t^\alpha+b \phi^\alpha$ is also a Killing vector of the Kerr spacetime.

Let, the stationary observer move with a four velocity $U^x$, which is proportional, in general, to the Killing vector, $t^\alpha+\Omega \phi^\alpha$, i.e.,
$$U^\alpha=\gamma\left(t^\alpha+\Omega \phi^\alpha\right)$$
where $\gamma$ is a new normalization factor given by
\begin{aligned} \gamma^{-2} & =g_{\alpha \beta}\left(t^\alpha+\Omega \phi^\alpha\right)\left(t^\beta+\Omega \phi^\beta\right), \ & =g_{t t}+2 \Omega g_{t \phi}+\Omega^2 g_{\phi \phi}, \ & =g_{\phi \phi}\left(\Omega^2-2 \omega \Omega+\frac{g_{t t}}{g_{\phi \phi}}\right), \end{aligned}
where
$$\omega=-\frac{g_{t \phi}}{g_{t t}} \text { and } \frac{d \phi}{d t}=\Omega=\text { observer’s angular velocity. }$$
A stationary observer can exist in the Kerr spacetime provided $\gamma^{-2}>0$. For $\gamma^{-2}<0$, this fails to be true. Now, $\gamma^{-2}>0$ only when
$$\Omega_{-}<\Omega<\Omega_{+},$$
where
$$\Omega_{ \pm}=\omega \pm \sqrt{\omega^2-\frac{g_{t t}}{g_{\phi \phi}}} .$$
Using the value of the metric coefficients of Kerr metric, one gets
$$\Omega_{ \pm}=\omega \pm \frac{\sqrt{\triangle} \phi^2}{\sum \sin \theta} .$$

# 广义相对论代考

## 物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Zero Angular Momentum Observers in the Kerr Spacetime

$$L=u_\alpha \phi^\alpha=0$$
$$g_{\phi t} \dot{t}+g_{\phi \phi} \dot{\phi}=0$$
\begin{aligned} & \tau \ & \phi \Omega \equiv \frac{d \phi}{d t}=\omega \omega=-\frac{g_\phi \phi}{g_{\phi \phi}} \ & \omega=-\frac{g_{t \phi}}{g_{\phi \phi}}=\frac{2 m a r}{\Sigma}=\frac{2 m a r}{\left[\left(r^2+a^2\right)^2-a^2 \sin ^2 \theta\left(r^2\right.\right.} \end{aligned}
$$\left(r^2+a^2\right)^2>a^2 \sin ^2 \theta\left(r^2-2 m r+a^2\right)$$
$\frac{\omega}{m a}>0 m a$ 黑洞的旋转方向相同，即 ZAMO 随黑洞旋 转。一旦观察者移向黑洞，这个角速度就会增加。这是 克尔黑洞的一个显着特征，即克尔黑洞引力场中的 ZAMO运动是与黑洞同轴的。此功能称为惯性框架的拖 动。

## 物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Stationary Observer in the Kerr Spacetime

$$U^\alpha=\gamma\left(t^\alpha+\Omega \phi^\alpha\right)$$

$$\gamma^{-2}=g_{\alpha \beta}\left(t^\alpha+\Omega \phi^\alpha\right)\left(t^\beta+\Omega \phi^\beta\right), \quad=g_{t t}+2 \Omega$$

$\omega=-\frac{g_{t \phi}}{g_{t t}}$ and $\frac{d \phi}{d t}=\Omega=$ observer’s angular veloc静止的观察者可以存在于提供的克尔时空中 $\gamma^{-2}>0$. 为 了 $\gamma^{-2}<0$ ，这不是真的。现在， $\gamma^{-2}>0$ 只有当
$$\Omega_{-}<\Omega<\Omega_{+},$$

$$\Omega_{ \pm}=\omega \pm \sqrt{\omega^2-\frac{g_{t t}}{g_{\phi \phi}}} .$$

$$\Omega_{ \pm}=\omega \pm \frac{\sqrt{\triangle} \phi^2}{\sum \sin \theta}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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