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广义相对论是阿尔伯特-爱因斯坦在1907至1915年间提出的引力理论。广义相对论说，观察到的质量之间的引力效应是由它们对时空的扭曲造成的。

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物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Some Elementary Properties of the Kerr Solution

The utmost valuable configuration of Kerr metric is Boyer-Lindquist form for the study of the elementary properties of Kerr solution. One can rewrite the Boyer-Lindquist form as
$$
d s^2=A d t^2-B(d \phi-\omega d t)^2-C d r^2-D d \theta^2
$$
where
$$
A=\frac{\triangle R^2}{\Sigma^2}, B=\frac{\Sigma^2}{R^2} \sin ^2 \theta, C=\frac{R^2}{\triangle}, D=R^2, \omega=-\frac{g_{t \phi}}{g_{\phi \phi}}=\frac{2 m r a}{\Sigma^2},
$$
with
$$
\begin{aligned}
& \triangle=r^2-2 m r+a^2, R^2=r^2+a^2 \cos ^2 \theta, \
& \Sigma^2=\left(r^2+a^2\right)^2-a^2 \triangle \sin ^2 \theta=\frac{R^4 \triangle-4 a^2 m^2 r^2 \sin ^2 \theta}{\Delta-a^2 \sin ^2 \theta} .
\end{aligned}
$$
Here, the fundamental tensor takes the form
$$
g_{\mu v}=\left(\begin{array}{cccc}
A-\omega^2 B & 0 & 0 & \omega B \
0 & -C & 0 & 0 \
0 & 0 & -D & 0 \
\omega B & 0 & 0 & -B
\end{array}\right) .
$$
Here,
$$
g_{t t}=A-\omega^2 B=1-\frac{2 m r}{R^2}, g_{t \phi}=\omega B, g_{r r}=-C, g_{\theta \theta}=-D, g_{\phi \phi}=-B .
$$

The contravariant form of the fundamental tensor is
$$
g^{\mu \nu}=\left(\begin{array}{cccc}
\frac{1}{A} & 0 & 0 & \frac{\omega}{A} \
0 & -\frac{1}{C} & 0 & 0 \
0 & 0 & -\frac{1}{D} & 0 \
\frac{\omega}{A} & 0 & 0 & \frac{\omega^2 B-A}{A B}
\end{array}\right) .
$$
Note that the metric coefficients do not depend on $t$ and $\phi$. This implies that the solution is both stationary and axially symmetric (a solution being axially symmetric means that the solution is invariant under rotation about a fixed axis). As the Kerr metric is stationary and axially symmetric, it possesses the following Killing vectors $t^\alpha=\frac{\partial x^\alpha}{\partial t}=(1,0,0,0)$ and $\phi^\alpha=\frac{\partial x^\alpha}{\partial \phi}=(0,0,0,1)$.

This indicates that the orbits of the Killing vector field $\frac{\partial x^a}{\partial \phi}$ admit the continuous symmetries for the curves $t=$ constant, $r=$ constant, $\theta=$ constant, which are circles. This approves that a spinning source provides the Kerr field. Thus, Kerr solution represents a vacuum field exterior to a spinning source. As $a \rightarrow 0$, we reproduce the Schwarzschild line element. Also for $a \rightarrow 0$ and $r \rightarrow \infty$, we have $g_{a b} \rightarrow \eta_{a b}$ so that Kerr solution is asymptotically flat.
The determinant of the metric yields $m$ independent form as
$$
\operatorname{det}\left(g_{\mu v}\right)=-\sin ^2 \theta\left(r^2+a^2 \cos ^2 \theta\right)^2
$$

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Singularities and Horizons

It is obvious that the fundamental tensor of Kerr solution and its contravariant form have singularities at $\triangle=0$ and $R^2=0$. Now one needs to calculate Kretschmann $R^{a b c d} R_{a b c d}$ of the Kerr spacetime to distinguish between coordinate and curvature singularities. Here,
$$
R^{a b c d} R_{a b c d}=\frac{48 m^2\left(r^2-a^2 \cos ^2 \theta\right)\left(R^4-16 a^2 r^2 \cos ^2 \theta\right)}{R^{12}} .
$$
This indicates that the metric has just a coordinate singularity at $\triangle=0$ (by setting $g_{\phi t}^2-g_{t t} g_{\phi \phi}=0$ ). However, the Kerr spacetime has a real physical singularity at $R^2=0 . R^2=0$ implies
$$
R^2=r^2+a^2 \cos ^2 \theta=0
$$
It follows that
$$
r=0 \text { and } \cos \theta=0 \text { or } \theta=\frac{\pi}{2}
$$
Now, Eqs. (10.20) and (10.21) yield
$$
x^2+y^2=a^2, z=0 .
$$
This is a ring-type singularity having radius $a$ that lies in the $z=0$ equatorial plane.

The event horizon is a surface at which the radial coordinate $\mathrm{r}$ reverses its signature. Thus, the Kerr spacetime has horizons where the four velocity of a viewer tends to zero, or the surface $r=$ constant becomes null. The event horizon is a solution of $\triangle=0$. This yields
$$
r^2-2 m r+a^2=\left(r-r_{+}\right)\left(r-r_{-}\right)=0
$$
i.e.,
$$
r=r_{ \pm}=m \pm \sqrt{m^2-a^2}
$$
Note that $R^{a b c d} R_{a b c d}$ remains finite at $r_{ \pm}$. Thus, the points $r=r_{ \pm}$are coordinate singularity rather than a curvature singularity. Also when $a \rightarrow 0$ (nonspinning limit), we obtain $r=2 m$ or $0 . r=2 m$ is the position of the horizon in the Schwarzschild geometry. This indicates that we can recognize $r_{ \pm}$as the positions of the inner and outer horizons $\left(r=r_{+}\right.$is the outer horizon and $r=r_{-}$is the inner horizon). One can refer the region $r<r_{+}$as the interior of the Kerr black hole (see Fig. 93).

广义相对论代考

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Some Elementary Properties of the Kerr Solution

克尔度量最有价值的配置是用于研究克尔解的基本性质 的 Boyer-Lindquist 形式。可以将 Boyer-Lindquist 形式 重写为
$$
d s^2=A d t^2-B(d \phi-\omega d t)^2-C d r^2-D d \theta^2
$$
在哪里
$$
A=\frac{\triangle R^2}{\Sigma^2}, B=\frac{\Sigma^2}{R^2} \sin ^2 \theta, C=\frac{R^2}{\triangle}, D=R^2, \omega=-
$$
和
$$
\triangle=r^2-2 m r+a^2, R^2=r^2+a^2 \cos ^2 \theta, \quad \Sigma^2=
$$
在这里，基本张量的形式为
这里，
$$
g_{t t}=A-\omega^2 B=1-\frac{2 m r}{R^2}, g_{t \phi}=\omega B, g_{r r}=-C, g_{\theta \theta}
$$
基本张量的逆变形式是请注意，度量系数不依赖于 $t$ 和 $\phi$. 这意味着该解既是静止 的又是轴对称的 (轴对称的解意味着该解在绕固定轴旋 转时不变) 。由于 Kerr 度量是固定的且轴对称的，因此 它具有以下 Killing 矢量 $t^\alpha=\frac{\partial x^\alpha}{\partial t}=(1,0,0,0)$ 和 $\phi^\alpha=\frac{\partial x^\alpha}{\partial \phi}=(0,0,0,1)$
这表明 Killing 矢量场的轨道 $\frac{\partial x^a}{\partial \phi}$ 承认曲线的连续对称性 $t=$ 持续的， $r=$ 持续的， $\theta=$ 常量，也就是圆。这证明 旋转源提供克尔扬。因此，克尔解表示旋转源外部的真 空场。作为 $a \rightarrow 0$ ，我们再现了 Schwarzschild 线元 素。也为 $a \rightarrow 0$ 和 $r \rightarrow \infty$ ，我们有 $g_{a b} \rightarrow \eta_{a b}$ 因此 Kerr 解是渐近平坦的。
公制收益率的决定因素 $m$ 独立形式为
$$
\operatorname{det}\left(g_{\mu v}\right)=-\sin ^2 \theta\left(r^2+a^2 \cos ^2 \theta\right)^2
$$

物理代写|广义相对论代写General relativity代考|Singularities and Horizons

很明显，克尔解的基本张量及其逆变形式在 $\triangle=0$ 和 $R^2=0$. 现在需要计算 Kretschmann $R^{a b c d} R_{a b c d}$ 克尔 时空的坐标和曲率奇点之间的区别。这里，
$$
R^{a b c d} R_{a b c d}=\frac{48 m^2\left(r^2-a^2 \cos ^2 \theta\right)\left(R^4-16 a^2 r^2 \cos \right.}{R^{12}}
$$
这表明度量只有一个坐标奇异点 $\triangle=0$ (通过设置 $g_{\phi t}^2-g_{t t} g_{\phi \phi}=0$ ). 然而，克尔时空在 $R^2=0 . R^2=0$ 暗示
$$
R^2=r^2+a^2 \cos ^2 \theta=0
$$
它遵循
$$
r=0 \text { and } \cos \theta=0 \text { or } \theta=\frac{\pi}{2}
$$
现在，方程式。 $(10.20)$ 和 (10.21) 收益率
$$
x^2+y^2=a^2, z=0 \text {. }
$$
这是一个具有半径的环形奇点 $a$ 那位于 $z=0$ 赤道面。
事件视界是一个表面，在该表面上径向坐标 $\mathrm{x}$ 反转其签 名。因此，克尔时空具有观察者的四个速度趋于零的视 界，或者表面 $r$ =常量变为空。事件视界是一个解决方 案 $\triangle=0$. 这产生$$
r^2-2 m r+a^2=\left(r-r_{+}\right)\left(r-r_{-}\right)=0
$$
$\mathrm{IE}$
$$
r=r_{ \pm}=m \pm \sqrt{m^2-a^2}
$$
注意 $R^{a b c d} R_{a b c d}$ 仍然有限 $r_{ \pm}$. 因此，点 $r=r_{ \pm}$是坐标 奇点而不是曲率奇点。还有当 $a \rightarrow 0$ (非旋转极限)， 我们得到 $r=2 m$ 或者 $0 . r=2 m$ 是史瓦西几何中地平 线的位置。这表明我们可以识别 $r_{ \pm}$作为内视界和外视界 的位置 $\left(r=r_{+}\right.$是外部地平线和 $r=r_{-}$是内部地平
线) 。可以参考地区 $r<r_{+}$作为克尔黑洞的内部 (见图 93) 。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。