# 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Uniform Boundedness and Banach-Steinhaus Theorems

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Uniform Boundedness and Banach-Steinhaus Theorems

In some situations, we are interested in determining whether the norms of a given collection of bounded linear operators $\left{A_\alpha\right} \in \mathcal{L}(U, V)$ have a finite least upper bound or, equivalently, if there is some uniform bound for the set $\left{\left|A_\alpha\right|\right}$. Though the norm of each $A_\alpha$ is finite, there is no guarantee that they might not form an increasing sequence. The following theorem is called the principle of uniform boundedness and it provides a criterion for determining when such an increasing sequence is not formed.
THEOREM 5.8.1
(The Uniform Boundedness Theorem)
Let $U$ be a Banach space and $V$ a normed space, and let
$$T_\iota \in \mathcal{L}(U, V), \iota \in I$$
be a family of linear, continuous operators, pointwise uniformly bounded, i.e.,
$$\forall \boldsymbol{u} \in U \exists C(\boldsymbol{u})>0:\left|T_\iota \boldsymbol{u}\right|_V \leq C(\boldsymbol{u}) \quad \forall \iota \in I$$
Then $T_{\llcorner}$are uniformly bounded, i.e.,
$$\exists c>0 \quad\left|T_\iota\right|_{\mathcal{L}(U, V)} \leq c \quad \forall \iota \in I$$

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Open Mapping Theorem

Open Functions. Let $X$ and $Y$ be two topological spaces. A function $f: X \rightarrow Y$ is said to be open iff it maps open sets in $X$ into open sets in $Y$, i.e.,
$A$ open in $X \Longrightarrow f(A)$ open in $Y$
Notice that if $f$ is bijective and $f^{-1}$ is continuous, then $f$ is open.
The fundamental result of Stefan Banach reads as follows:
THEOREM 5.9.1
(The Open Mapping Theorem)
Let $X$ and $Y$ be two Banach spaces and $T$ a nontrivial continuous linear operator from $X$ onto $Y$ such that
$$T \in \mathcal{L}(X, Y), \quad \text { and } T \text { is surjective }$$
Then $T$ is an open mapping from $X$ to $Y$, i.e.,
$A$ open in $X \Longrightarrow T(A)$ open in $Y$
In order to prove the Open Mapping Theorem, we need a preliminary result.

# 泛函分析代写

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Uniform Boundedness and Banach-Steinhaus Theorems

(一致有界性定理)

$$T_\iota \in \mathcal{L}(U, V), \iota \in I$$

$$\forall \boldsymbol{u} \in U \exists C(\boldsymbol{u})>0:\left|T_\iota \boldsymbol{u}\right|V \leq C(\boldsymbol{u}) \quad \forall \iota \in I$$ 则$T{\llcorner}$均有界，即:
$$\exists c>0 \quad\left|T_\iota\right|_{\mathcal{L}(U, V)} \leq c \quad \forall \iota \in I$$

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|The Open Mapping Theorem

$A$ open in $X \Longrightarrow f(A)$ open in $Y$

Stefan Banach的基本结论如下:

(开放映射定理)

$$T \in \mathcal{L}(X, Y), \quad \text { and } T \text { is surjective }$$

$A$ open in $X \Longrightarrow T(A)$ open in $Y$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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