# 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Contraction Mappings and Fixed Points

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Contraction Mappings and Fixed Points

The ideas of a contraction mapping and of the fixed point of a function are fundamental to many questions in applied mathematics. We shall outline briefly in this section the essential ideas.
Fixed Points of Mappings. Let $F: X \rightarrow X$. A point $x \in X$ is called a fixed point of $F$ if
$$x=F(x)$$
Contraction Mapping. Let $(X, d)$ be a metric space and $F$ a mapping of $X$ into itself. The function $F$ is said to be a contraction or a contraction mapping if there is a real number $k, 0 \leq k<1$, such that
$$d(F(x), F(y)) \leq k d(x, y) \quad \text { for every } x, y \in X$$
Obviously, every contraction mapping $F$ is uniformly continuous. Indeed, $F$ is Lipschitz continuous with a Lipschitz constant $k$. The constant $k$ is called the contraction constant for $F$.

We now arrive at an important theorem known as the Principle of Contraction Mappings or Banach Contraction Map Theorem.

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Topological Vector Spaces-An Introduction

The most important mathematical systems encountered in applications of mathematics are neither purely topological (i.e., without algebraic structure, such as metric spaces) nor purely algebraic (without topological structure, such as vector spaces); rather they involve some sort of natural combinations of both. In this chapter, we study such systems, beginning with the concept of a topological vector space and quickly passing on to normed vector spaces.
Topological Vector Space. $V$ is called a topological vector space (t.v.s.) iff
(i) $V$ is a vector space (real or complex),
(ii) the underlying set of vectors, also denoted $V$, is endowed with a topology so that the resulting topological space is a Hausdorff topological space, also denoted $V$, and
$$V \times V \ni(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) \rightarrow \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} \in V$$
and multiplication by a scalar
$$\mathbb{R}(\text { or } \boldsymbol{C}) \times V \ni(\alpha, \boldsymbol{u}) \rightarrow \alpha \boldsymbol{u} \in V$$
are continuous operations.

# 泛函分析代写

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Contraction Mappings and Fixed Points

$$x=F(x)$$

$$d(F(x), F(y)) \leq k d(x, y) \quad \text { for every } x, y \in X$$

## 数学代写|泛函分析作业代写Functional Analysis代考|Topological Vector Spaces-An Introduction

(i) $V$是一个向量空间(实数或复数)，
(ii)底层向量集(也记为$V$)被赋予一个拓扑，使得得到的拓扑空间是一个Hausdorff拓扑空间(也记为$V$)，并且
(三)向量加法
$$V \times V \ni(\boldsymbol{u}, \boldsymbol{v}) \rightarrow \boldsymbol{u}+\boldsymbol{v} \in V$$

$$\mathbb{R}(\text { or } \boldsymbol{C}) \times V \ni(\alpha, \boldsymbol{u}) \rightarrow \alpha \boldsymbol{u} \in V$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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