# 物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|AMME2261

#### Doug I. Jones

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## 物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Superposition of a Translational Flow, a Dipole and a Vortex

Adding to the case discussed in Sect. 6.3.2, a potential vortex in the clockwise direction (negative) and the potential flow past a rotating circular cylinder is simulated. This superposition is possible since a potential vortex satisfies the kinematic boundary condition. The complex potential of this flow is $$F(z)=U_{\infty}\left(z+\frac{R^2}{z}\right)-i \frac{\Gamma}{2 \pi} \ln \left(\frac{z}{R}\right) .$$
Extracting its real and imaginary parts, we find the velocity potential and the stream function as
$$\phi=U_{\infty}\left(r+\frac{R^2}{r}\right) \cos \theta+\frac{\Gamma}{2 \pi} \theta$$
and
$$\psi=U_{\infty}\left(r-\frac{R^2}{r}\right) \sin \theta-\frac{\Gamma}{2 \pi} \ln (r / R) .$$
The function $F(z)$ represents the flow past a circular sylinder with the circulation strength $\Gamma$ as a parameter. When $\Gamma>0$, the vortex has a counterclockwise direction, whereas a $\Gamma<0$ refers to a clockwise direction. Equation (6.64) simulates the flow around a cylinder with a radius $R$ that rotates with an angular velocity $\Omega$. The circulation around the cylinder in Eq. (6.64) is obtained using the relationship:
$$\Gamma=\oint_{(\boldsymbol{C})} \boldsymbol{V} \cdot d \boldsymbol{C}=\int_0^{2 \pi} V_\theta R d \theta$$
with $V_\theta=R \Omega$ and $\Omega$ as the angular velocity of the rotating cylinder. The stagnation points on the cylinder contour are computed from:
$$V_\theta=\left.\frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right|{r=R}=-2 U{\infty} \sin \theta+\frac{\Gamma}{2 \pi} \frac{1}{R} .$$

## 物理代写|流体力学代写Fluid Mechanics代考|Superposition of a Uniform Flow, Source, and Sink

Figure $6.14$ exhibits the superposition of a uniform flow, a source and a sink discussed in the following section.

Combining the uniform complex potential, Eq. (6.22) with a source located at $z=-a$ and a sink at $z=+a$ with the complex potentials described by Eq. (6.27), we obtain a new complex potential that satisfies the Laplace equation:
\begin{aligned} &F(z)=V_{\infty} z+\frac{E}{2 \pi} \ln (z+a)-\frac{E}{2 \pi} \ln (z-a) \text { or } \ &F(z)=V_{\infty} z+\frac{E}{2 \pi} \ln \left(\frac{z+a}{z-a}\right) \end{aligned}
Decomposing Eq. (6.74) into its real and imaginary parts, we arrive at the potential function
$$\Phi=V_{\infty} x+\frac{E}{4 \pi} \ln \left(\frac{(x+a)^2+y^2}{(x-a)^2+y^2}\right)$$
and the stream function
$$\Psi=-V_{\infty} y-\frac{E}{2 \pi}\left[\arctan \left(\frac{y}{x+a}\right)-\arctan \left(\frac{y}{x-a}\right)\right] .$$
Figure $6.14$ exhibits the streamlines resulting from superposition Eq. (6.76). The velocity components are obtained by differentiating Eq. (6.76) with respect to the complex variable $z$ and decomposing the result into its real and imaginary parts. The process of differentiation and decomposition is the same as shown in Sect. 6.2.

## 物理代写|流体力学代写流体力学代考|平动流、偶极子和涡的叠加

$$\phi=U_{\infty}\left(r+\frac{R^2}{r}\right) \cos \theta+\frac{\Gamma}{2 \pi} \theta$$

$$\psi=U_{\infty}\left(r-\frac{R^2}{r}\right) \sin \theta-\frac{\Gamma}{2 \pi} \ln (r / R) .$$
，函数$F(z)$表示以循环强度$\Gamma$为参数的通过圆柱的流。当$\Gamma>0$时，漩涡是逆时针方向，而$\Gamma<0$是顺时针方向。式(6.64)模拟了绕半径为$R$、角速度为$\Omega$的圆柱体的流动。式(6.64)中圆柱体周围的循环是用
$$\Gamma=\oint_{(\boldsymbol{C})} \boldsymbol{V} \cdot d \boldsymbol{C}=\int_0^{2 \pi} V_\theta R d \theta$$
， $V_\theta=R \Omega$和$\Omega$作为旋转圆柱体的角速度得到的关系式。圆柱体轮廓上的驻点是由:
$$V_\theta=\left.\frac{1}{r} \frac{\partial \phi}{\partial \theta}\right|{r=R}=-2 U{\infty} \sin \theta+\frac{\Gamma}{2 \pi} \frac{1}{R} .$$ 计算出来的

## 物理代写|流体力学代写流体力学代考|均匀流、源和汇的叠加

.

\begin{aligned} &F(z)=V_{\infty} z+\frac{E}{2 \pi} \ln (z+a)-\frac{E}{2 \pi} \ln (z-a) \text { or } \ &F(z)=V_{\infty} z+\frac{E}{2 \pi} \ln \left(\frac{z+a}{z-a}\right) \end{aligned}

$$\Phi=V_{\infty} x+\frac{E}{4 \pi} \ln \left(\frac{(x+a)^2+y^2}{(x-a)^2+y^2}\right)$$

$$\Psi=-V_{\infty} y-\frac{E}{2 \pi}\left[\arctan \left(\frac{y}{x+a}\right)-\arctan \left(\frac{y}{x-a}\right)\right] .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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