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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|Estimating the Optimal Linear Predictor

To actually estimate $\beta$ from data, we need to make some probabilistic assumptions about where the data comes from. A fairly weak but often sufficient assumption is that observations $\left(\vec{X}_i, Y_i\right)$ are independent for different values of $i$, with unchanging covariances. Then if we look at the sample covariances, they will, by the law of large numbers, converge on the true covariances:
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{n} \mathbf{X}^T \mathbf{Y} \rightarrow \operatorname{Cov}[\vec{X}, Y] \
&\frac{1}{n} \mathbf{X}^T \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{v}
\end{aligned}
$$
where as before $\mathbf{X}$ is the data-frame matrix with one row for each data point and one column for each variable, and similarly for $\mathbf{Y}$.
So, by continuity,
$$
\hat{\beta}=\left(\mathbf{X}^T \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{Y} \rightarrow \beta
$$
and we have a consistent estimator.

On the other hand, we could start with the residual sum of squares
$$
\operatorname{RSS}(\beta) \equiv \sum_{i=1}^n\left(y_i-\vec{x}_i \cdot \beta\right)^2
$$
and try to minimize it. The minimizer is the same $\hat{\beta}$ we got by plugging in the sample covariances. No probabilistic assumption is needed to minimize the RSS, but it doesn’t let us say anything about the convergence of $\hat{\beta}$. For that, we do need some assumptions about $\vec{X}$ and $Y$ coming from distributions with unchanging covariances.
(One can also show that the least-squares estimate is the linear predictor with the minimax prediction risk. That is, its worst-case performance, when everything goes wrong and the data are horrible, will be better than any other linear method. This is some comfort, especially if you have a gloomy and pessimistic view of data, but other methods of estimation may work better in less-than-worst-case scenarios.)

数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|Omitted Variables and Shifting Distributions

That the optimal regression coefficients can change with the distribution of the predictor features is annoying, but one could after all notice that the distribution has shifted, and so be cautious about relying on the old regression. More subtle is that the regression coefficients can depend on variables which you do not measure, and those can shift without your noticing anything.
Mathematically, the issue is that
$$
\mathbb{E}[Y \mid \vec{X}]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y \mid Z, \vec{X}] \mid \vec{X}]
$$
Now, if $Y$ is independent of $Z$ given $\vec{X}$, then the extra conditioning in the inner expectation does nothing and changing $Z$ doesn’t alter our predictions. But in general there will be plenty of variables $Z$ which we don’t measure (so they’re not included in $\vec{X}$ ) but which have some non-redundant information about the response (so that $Y$ depends on $Z$ even conditional on $\vec{X}$ ). If the distribution of $\vec{X}$ given $Z$ changes, then the optimal regression of $Y$ on $\vec{X}$ should change too.

Here’s an example. $X$ and $Z$ are both $\mathscr{N}(0,1)$, but with a positive correlation of $0.1$. In reality, $Y \sim \mathscr{N}(X+Z, 0.01)$. Figure $2.2$ shows a scatterplot of all three variables together $(n=100)$.

Now I change the correlation between $X$ and $Z$ to $-0.1$. This leaves both marginal distributions alone, and is barely detectable by eye (Figure 2.3).

Figure $2.4$ shows just the $X$ and $Y$ values from the two data sets, in black for the points with a positive correlation between $X$ and $Z$, and in blue when the correlation is negative. Looking by eye at the points and at the axis tick-marks, one sees that, as promised, there is very little change in the marginal distribution of either variable. Furthermore, the correlation between $X$ and $Y$ doesn’t change much, going only from $0.74$ to $0.63$. On the other hand, the regression lines are noticeably different. When $\operatorname{Cov}[X, Z]=0.1$, the slope of the regression line is $0.96$ – high values for $X$ tend to indicate high values for $Z$, which also increases $Y$. When $\operatorname{Cov}[X, Z]=-0.1$, the slope of the regression line is $0.84$, because now extreme values of $X$ are signs that $Z$ is at the opposite extreme, bringing $Y$ closer back to its mean. But, to repeat, the difference here is due to a change in the correlation between $X$ and $Z$, not how those variables themselves relate to $Y$. If I regress $Y$ on $X$ and $Z$, I get $\hat{\beta}=1,1$ in the first case and $\widehat{\beta}=1,1$ in the second.

基础数据分析代考

数学代写|基础数据分析代写基本数据分析代考|估计最优线性预测器

实际估计 $\beta$ 从数据中，我们需要对数据的来源做出一些概率假设。一个相当弱但往往充分的假设是观察 $\left(\vec{X}_i, Y_i\right)$ 的不同值是独立的 $i$，协方差不变。然后，如果我们观察样本协方差，根据大数定律，它们将收敛于真实的协方差:
$$
\begin{aligned}
&\frac{1}{n} \mathbf{X}^T \mathbf{Y} \rightarrow \operatorname{Cov}[\vec{X}, Y] \
&\frac{1}{n} \mathbf{X}^T \mathbf{X} \rightarrow \mathbf{v}
\end{aligned}
$$
where as before $\mathbf{X}$ 数据框架矩阵是否对每个数据点有一行，对每个变量有一列 $\mathbf{Y}$
因此，通过连续性，
$$
\hat{\beta}=\left(\mathbf{X}^T \mathbf{X}\right)^{-1} \mathbf{X}^T \mathbf{Y} \rightarrow \beta
$$
我们有一个一致的估计量。

另一方面，我们可以从残差平方和
$$
\operatorname{RSS}(\beta) \equiv \sum_{i=1}^n\left(y_i-\vec{x}_i \cdot \beta\right)^2
$$
开始，并尝试最小化它。最小化器和我们代入样本协方差得到的$\hat{\beta}$是一样的。不需要任何概率假设来最小化RSS，但是它不允许我们说任何关于$\hat{\beta}$的收敛。为此，我们确实需要一些关于$\vec{X}$和$Y$的假设，这些假设来自协方差不变的分布。(也可以证明最小二乘估计是具有极小最大预测风险的线性预测器。也就是说，它在最坏情况下的表现，当一切都出错，数据很糟糕的时候，会比其他任何线性方法都好。这是一些安慰，特别是如果你对数据有悲观和悲观的看法，但其他的估计方法可能在不是最坏的情况下更有效

数学代写|基础数据分析代写基本数据分析代考|省略变量和移动分布

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最优回归系数可以随着预测器特征的分布而变化，这是令人讨厌的，但人们可能会注意到分布已经发生了变化，因此要谨慎依赖旧的回归。更微妙的是，回归系数可能依赖于你没有测量的变量，这些变量可能在你没有注意到的情况下发生变化。从数学上讲，问题是
$$
\mathbb{E}[Y \mid \vec{X}]=\mathbb{E}[\mathbb{E}[Y \mid Z, \vec{X}] \mid \vec{X}]
$$
现在，如果$Y$独立于给定$\vec{X}$的$Z$，那么内部期望中的额外条件作用不起作用，改变$Z$也不会改变我们的预测。但通常会有很多变量$Z$，我们没有测量它们(因此它们不包含在$\vec{X}$中)，但它们有一些关于响应的非冗余信息(因此$Y$依赖于$Z$，甚至有$\vec{X}$的条件)。如果给定$Z$, $\vec{X}$的分布发生变化，那么$Y$在$\vec{X}$上的最优回归也应该发生变化

这里有一个例子。$X$和$Z$都是$\mathscr{N}(0,1)$，但与$0.1$正相关。实际上，$Y \sim \mathscr{N}(X+Z, 0.01)$。图$2.2$显示了所有三个变量一起的散点图$(n=100)$ .

现在我将$X$和$Z$之间的相关性更改为$-0.1$。这使得两个边缘分布都不受影响，肉眼几乎无法察觉(图2.3)

图 $2.4$ 显示了 $X$ 和 $Y$ 来自两个数据集的值，黑色表示与之呈正相关的点 $X$ 和 $Z$，当相关性为负时为蓝色。通过观察这些点和坐标轴上的勾号，人们可以看到，正如承诺的那样，这两个变量的边际分布几乎没有变化。此外，之间的相关性 $X$ 和 $Y$ 变化不大，只从 $0.74$ 到 $0.63$。另一方面，回归线明显不同。什么时候 $\operatorname{Cov}[X, Z]=0.1$，回归线的斜率为 $0.96$ -高值 $X$ 倾向于表示高值 $Z$，也会增加 $Y$。什么时候 $\operatorname{Cov}[X, Z]=-0.1$, the slope of the regression line is $0.84$的极值 $X$ are signs that $Z$ 是在另一个极端，带来 $Y$ 更接近它的平均值。但是，重复一遍，这里的差异是由于相关性的变化 $X$ 和 $Z$而不是这些变量之间的关系 $Y$。如果我倒退 $Y$ 在 $X$ 和 $Z$, I get $\hat{\beta}=1,1$ 在第一种情况下和 $\widehat{\beta}=1,1$ in the second.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。