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数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|Errors in Variables
It is often the case that the input features we can actually measure, $\vec{X}$, are distorted versions of some other variables $\vec{U}$ we wish we could measure, but can’t:
$$
\vec{X}=\vec{U}+\vec{\eta}
$$
with $\vec{\eta}$ being some sort of noise. Regressing $Y$ on $\vec{X}$ then gives us what’s called an errors-in-variables problem.
In one sense, the errors-in-variables problem is huge. We are often much more interested in the connections between actual variables in the real world, than with our imperfect, noisy measurements of them. Endless ink has been spilled, for instance, on what determines students’ examination scores. One thing commonly thrown into the regression $-$ a feature included in $\vec{X}-$ is the income of children’s families. But this is typically not measured with absolute precision ${ }^5$, so what we are really interested in – the relationship between actual income and school performance $-$ is not what we are estimating in our regression. Typically, adding noise to the input features makes them less predictive of the response $-$ in linear regression, it tends to push $\hat{\beta}$ closer to zero than it would be if we could regress $Y$ on $\vec{U}$.
On account of the error-in-variables problem, some people get very upset when they see imprecisely-measured features as inputs to a regression. Some of them, in fact, demand that the input variables be measured exactly, with no noise whatsoever.
This position, however, is crazy, and indeed there’s a sense in which errors-invariables isn’t a problem at all. Our earlier reasoning about how to find the optimal linear predictor of $Y$ from $\vec{X}$ remains valid whether something like Eq. $2.32$ is true or not. Similarly, the reasoning in Ch. 1 about the actual regression function being the over-all optimal predictor, etc., is unaffected. If in the future we will continue to have $\vec{X}$ rather than $\vec{U}$ available to us for prediction, then Eq. $2.32$ is irrelevant for prediction. Without better data, the relationship of $Y$ to $\vec{U}$ is just one of the unanswerable questions the world is full of, as much as “what song the sirens sang, or what name $\Lambda$ chilles took when he hid among the women”.
Now, if you are willing to assume that $\vec{\eta}$ is a very nicely behaved Gaussian and you know its variance, then there are standard solutions to the error-in-variables problem for linear regression – ways of estimating the coefficients you’d get if you could regress $Y$ on $\vec{U}$. I’m not going to go over them, partly because they’re in standard textbooks, but mostly because the assumptions are hopelessly demanding. ${ }^6$
数学代写|基础数据分析代写Elementary data Analysis代考|Transformation
Let’s look at a simple non-linear example, $Y \mid X \sim \mathscr{N}(\log X, 1)$. The problem with smoothing data from this source on to a straight line is that the true regression curve isn’t very straight, $\mathbb{E}[Y \mid X=x]=\log x$. (Figure 2.5.) This suggests replacing the variables we have with ones where the relationship is linear, and then undoing the transformation to get back to what we actually measure and care about.
We have two choices: we can transform the response $Y$, or the predictor $X$. Here transforming the response would mean regressing exp $Y$ on $X$, and transforming the predictor would mean regressing $Y$ on $\log X$. Both kinds of transformations can be worth trying, but transforming the predictors is, in my experience, often a better bet, for three reasons.
- Mathematically, $\mathbb{E}[f(Y)] \neq f(\mathbb{E}[Y])$. A mean-squared optimal prediction of $f(Y)$ is not necessarily close to the transformation of an optimal prediction of $Y$. And $Y$ is, presumably, what we really want to predict. (Here, however, it works out.)
- Imagine that $Y=\sqrt{X}+\log Z$. There’s not going to be any particularly nice transformation of $Y$ that makes everything linear; though there will be transformations of the features.
- This generalizes to more complicated models with features built from multiple covariates.
- Suppose that we are in luck and $Y=\mu(X)+\epsilon$, with $\epsilon$ independent of $X$, and Gaussian, so all the usual default calculations about statistical inference apply. Then it will generally not be the case that $f(Y)=s(X)+\eta$, with $\eta$ a Gaussian random variable independent of $X$. In other words, transforming $Y$ completely messes up the noise model. (Consider the simple case where we take the logarithm of $Y$. Gaussian noise after the transformation implies lognormal noise before the transformation. Conversely, Gaussian noise before the transformation implies a very weird, nameless noise distribution after the transformation.)
基础数据分析代考
数学代写|基础数据分析代写基本数据分析代考|变量中的错误
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通常情况下，我们实际上可以测量的输入特征$\vec{X}$是一些其他变量$\vec{U}$的扭曲版本，我们希望我们可以测量，但不能:
$$
\vec{X}=\vec{U}+\vec{\eta}
$$
与$\vec{\eta}$是某种噪音。在$\vec{X}$上回归$Y$会给我们带来所谓的变量错误问题
从某种意义上说，变量错误问题是巨大的。我们通常更感兴趣的是现实世界中实际变量之间的联系，而不是我们对它们的不完美的、嘈杂的测量。例如，关于学生考试成绩的决定因素的讨论已经没完没了。一个通常被扔进回归$-$的东西，一个包含在$\vec{X}-$的功能是孩子家庭的收入。但这通常不是绝对精确的测量${ }^5$，所以我们真正感兴趣的-实际收入和学校表现之间的关系$-$不是我们在回归中估计的。通常情况下，在线性回归中为输入特征添加噪声会使其对响应$-$的预测能力下降，它会使$\hat{\beta}$比我们在$\vec{U}$上对$Y$进行回归时更接近零
由于变量错误问题，当一些人看到不精确测量的特征作为回归的输入时，他们会非常沮丧。事实上，其中一些要求精确测量输入变量，没有任何噪声。然而，这个位置是疯狂的，确实在某种意义上，错误不变量根本不是一个问题。我们前面关于如何从$\vec{X}$找到$Y$的最佳线性预测器的推理仍然有效，不管像Eq. $2.32$这样的东西是否正确。类似地，第一章中关于实际回归函数是总体最优预测器等的推理不受影响。如果将来我们继续使用$\vec{X}$而不是$\vec{U}$来进行预测，那么Eq. $2.32$就与预测无关了。如果没有更好的数据，$Y$和$\vec{U}$之间的关系就只是这个世界上充满了无法回答的问题之一，就像“海妖唱什么歌，或者$\Lambda$ chilles藏在女人中间时用了什么名字”一样
现在，如果你愿意假设$\vec{\eta}$是一个表现良好的高斯函数，并且你知道它的方差，那么线性回归的变量误差问题有标准的解决方案——估计系数的方法，如果你可以在$\vec{U}$上回归$Y$。我不打算细说它们，部分原因是它们在标准教科书中，但主要是因为这些假设要求太高。${ }^6$
数学代写|基础数据分析代写基本数据分析代考|转换
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让我们看一个简单的非线性例子，$Y \mid X \sim \mathscr{N}(\log X, 1)$。平滑来自这个来源的数据到一条直线的问题是，真正的回归曲线不是很直，$\mathbb{E}[Y \mid X=x]=\log x$。(图2.5)这意味着用线性关系的变量替换我们现有的变量，然后取消转换，回到我们实际测量和关心的东西
我们有两个选择:我们可以转换响应$Y$，或者转换预测器$X$。这里，转换响应将意味着在$X$上回归exp $Y$，而转换预测器将意味着在$\log X$上回归$Y$。这两种转换都值得尝试，但根据我的经验，转换预测器通常是更好的选择，原因有三
- 数学上，$\mathbb{E}[f(Y)] \neq f(\mathbb{E}[Y])$。$f(Y)$的均方最优预测不一定接近于$Y$的最优预测的变换。而$Y$大概就是我们真正想要预测的。
- 想象一下$Y=\sqrt{X}+\log Z$。$Y$不会有什么特别好的变换使一切都是线性的;虽然会有特征的变化。这可以推广到由多个协变量构建的更复杂的模型。
- 假设我们很幸运，并且$Y=\mu(X)+\epsilon$，其中$\epsilon$独立于$X$，并且是高斯分布，那么所有通常默认的统计推断计算都适用。那么它通常不会是$f(Y)=s(X)+\eta$的情况，$\eta$是一个独立于$X$的高斯随机变量。换句话说，转换$Y$完全搞乱了噪声模型。(考虑一个简单的例子，我们取$Y$的对数。变换后的高斯噪声意味着变换前的对数正态噪声。相反，变换前的高斯噪声意味着变换后非常奇怪的、无名的噪声分布。)
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
