# 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|PHYSICS7536

#### Doug I. Jones

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## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electric Potential of a Point Charge

Consider an isolated positive point charge $q$, as indicated in Fig. 3.4. Note that such a charge produces an electric field that is directed radially outward from the charge, as discussed in Chap. 1:

$$\mathbf{E}=k_e \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$
Consider an arbitrary path from some point $A$ to the point $B$, and a small displacement vector along that path $d \mathbf{s}$ at the position $\mathbf{r}$ relative to the charge $q$, as shown in Fig. 3.4. Using Eq. (3.7), the potential difference is
\begin{aligned} \phi_B-\phi_A & =-\int_A^B \mathbf{E} \cdot d \mathbf{s} \ & =-\int_A^B k_e \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \cdot d \mathbf{s} \ & =-\int_A^B k_e \frac{q}{r^2} \cos \theta d s \ & =-\int_A^B k_e \frac{q}{r^2} d r \ & =k_e q\left(\frac{1}{r_B}-\frac{1}{r_A}\right) \end{aligned}
where $r_A$ and $r_B$ are the distances of $A$ and $B$ relative to $q$, and $\hat{\mathbf{r}}$ is a unit vector along the radial direction. In Eq. (3.23), $\theta$ is angle between the small displacement vector $d \mathbf{s}$ along the path between $A$ and $B$ and the radial small displacement vector $d \mathbf{r}$, as in Fig.3.4.

Equation(3.23) implies that the electric potential of any arbitrary charge $q$ at a distance $r$ from the charge is given as
$$\phi(r)=k_e \frac{q}{r}$$
which is a function of the distance $r$ from the charge $q$.

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electric Potential of a System of Point Charges

Let $q_1, q_2, \ldots, q_N$ be a set of $N$ static discrete charges, positive or negative, as shown in Fig. 3.5. Based on superposition principle, the electric potential resulting from those point charges at some point $P$, with position vector $\mathbf{r}$ with respect to the origin of the reference frame, is
$$\phi(\mathbf{r})=k_e \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}_i\right|}$$
where $\mathbf{r}_i$ is the position vector of the $i$ th charge with respect to the origin $O$, as indicated in Fig. 3.5.

Equation (3.25) indicates that the total potential at any point $P$ of a set of $N$ point charges is the sum of the potentials due to the individual charges.

In particular, for a system of two charged particles, we denote by $\phi_1$ the electric potential created by the charge $q_1$ at a point $P$ at distance $r$ from the charge $q_1$, which is taken to be at the origin $O$ of a coordinate system:
$$\phi_1=k_e \frac{q_1}{r}$$
The work done by an external agent to move the second charge $q_2$ from infinity to $P$ without accelerating it (i.e., the kinetic energy remains constant) is $$W=q_2 \phi_1$$
Therefore, from Eq. (3.27), the work is equal to the interaction potential energy $U_{12}$ of the particles, when they are separated by a distance $r_{12}$ :
$$U_{12}=k_e \frac{q_1 q_2}{r_{12}}$$

# 电磁学代考

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electric Potential of a Point Charge

$$\mathbf{E}=k_e \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}}$$

$$\phi_B-\phi_A=-\int_A^B \mathbf{E} \cdot d \mathbf{s} \quad=-\int_A^B k_e \frac{q}{r^2} \hat{\mathbf{r}} \cdot d \mathbf{s}=-\int_A^B$$

$$\phi(r)=k_e \frac{q}{r}$$

## 物理代写|电磁学代写electromagnetism代考|Electric Potential of a System of Point Charges

$$\phi(\mathbf{r})=k_e \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{\left|\mathbf{r}-\mathbf{r}i\right|}$$ 在哪里 $\mathbf{r}_i$ 是的位置向量 $i$ 关于原产地的费用 $O$ ，如图 $3.5$ 所示。 方程 (3.25) 表示任一点的总电势 $P$ 一组的 $N$ 点电荷是单个电荷产生 的电势之和。 特别地，对于两个菷电粒子的系统，我们表示为 $\phi_1$ 电荷产生的电势 $q_1$ 在某一点 $P$ 在远处 $r$ 从艴用 $q_1$ ，这被认为是原点 $O$ 坐标系: $$\phi_1=k_e \frac{q_1}{r}$$ 外部代理为移动第二笔费用所做的工作 $q_2$ 从无限到 $P$ 不加速它 (即动能保持不变) 是 $$W=q_2 \phi_1$$ 因此，从方程式。(3.27)，功等于相互作用势能 $U{12}$ 粒子的，当它们被 一段距离分开时 $r_{12}$ ：
$$U_{12}=k_e \frac{q_1 q_2}{r_{12}}$$

## 有限元方法代写

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