# 物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Gauge-invariant Calculation in Electrodynamics

#### Doug I. Jones

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The issue of gauge-invariant calculation in quantum electrodynamics can be formulated succinctly using the formalism presented in $\$ 6.5$; the interaction representation operator$\mathrm{V}(t)$obtained from (6.85) is a functional of the arbitrary Green’s function$\mathbf{g}$because$\mathrm{V},(9.154)$, is, and thus the time development operator is too: $$\mathrm{U}\left(t, t_0\right)=\mathrm{U}\left(t, t_0,[\mathbf{g}]\right)$$ Consider now two arbitrary gauges specified by$\mathbf{g}^1$and$\mathbf{g}^2$; then in general $$\mathrm{U}\left(t, t_0,\left[\mathbf{g}^1\right]\right) \neq \mathrm{U}\left(t, t_0,\left[\mathbf{g}^2\right]\right) \quad \mathbf{g}^1 \neq \mathbf{g}^2$$ since$t, t_0$are arbitrary. Physical observables are obtained from squared matrix elements of$\mathrm{U}$, so a transition$\Phi_n \rightarrow \Phi_k$is a physical process if and only if $$\left|\left\langle\Phi_k\left|\mathrm{U}\left(t, t_0,\left[\mathbf{g}^1\right]\right)\right| \Phi_n\right\rangle\right|^2=\left|\left\langle\Phi_k\left|\mathrm{U}\left(t, t_0,\left[\mathbf{g}^2\right]\right)\right| \Phi_n\right\rangle\right|^2$$ whatever$g^1$and$\mathbf{g}^2$may be. By way of an elementary example, consider the first-order perturbation solution for the time development operator; only$\mathrm{V}^1[\mathbf{g}],(9.155)$, can contribute to this order, and so (6.88) reduces to just the first-order approximation for$U=U^{(1)}, \begin{aligned} \mathrm{U}\left(t, t_0 ;[\mathbf{g}]\right)^{(1)} & =1-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \mathrm{~V}\left(t^{\prime},[\mathbf{g}]\right) \mathrm{d} t^{\prime} \ & =1-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \mathrm{~V}\left(t^{\prime},[0]\right) \mathrm{d} t^{\prime}-\left(\frac{i}{\hbar}\right)^2 \int_{t_0}^t\left[\mathrm{H}0, \mathrm{~F}\left(t^{\prime}\right)\right] \mathrm{d} t^{\prime}, \ & =\mathrm{U}\left(t, t_0 ;[0]\right)^{(1)}-\left(\frac{i}{\hbar}\right)^2 \int{t_0}^t\left[\mathrm{H}_0, \mathrm{~F}\left(t^{\prime}\right)\right] \mathrm{d} t^{\prime} \end{aligned} In the energy representation defined by the reference Hamiltonian $$\mathrm{H}_0\left|\Phi_n\right\rangle=E_n\left|\Phi_n\right\rangle$$ this becomes the matrix equation, \begin{aligned} \left\langle\Phi_k\left|\mathrm{U}\left(t, t_0 ;[\mathbf{g}]\right)^{(1)}\right| \Phi_n\right\rangle= & \left\langle\Phi_k\left|\mathrm{U}\left(t, t_0 ;[0]\right)^{(1)}\right| \Phi_n\right\rangle \ & -\left(\frac{i}{\hbar}\right)^2\left(E_k-E_n\right)(\mathrm{F}){k n} \int{t_0}^t e^{i\left(E_k-E_n\right) t^{\prime} / \hbar} \mathrm{d} t^{\prime} . \end{aligned} ## 物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Non-resonant Scattering and Perturbation Theory The interaction Hamiltonian (9.154) has the structure $$\mathrm{V}=\lambda \mathrm{V}^{(1)}+\lambda^2 \mathrm{~V}^{(2)}$$ with\lambda$standing for the coupling constant. The idea in [20] is to write the perturbation series (10.36) for the transition operator,$T$, in an algebraic form as a power$\operatorname{series}$in$\lambda$, $$\mathrm{T}=\sum_{p=1} \lambda^p \mathbf{T}^{(p)} \text {. }$$ We then have a three-term recurrence relation for the components$\left{\mathrm{T}^{(p)}\right}, $$\mathrm{T}^{(p)}=\mathrm{V}^{(1)} \mathrm{G}0 \mathrm{~T}^{(p-1)}+\mathrm{V}^{(2)} \mathrm{G}_0 \mathrm{~T}^{(p-2)}, \quad p \geq 3$$ with the starting values \begin{aligned} & \mathrm{T}^{(1)}=\mathrm{V}^{(1)}, \ & \mathrm{T}^{(2)}=\mathrm{V}^{(2)}+\mathrm{V}^{(1)} \mathrm{G}_0 \mathrm{~T}^{(1)} . \end{aligned} Suppose we perform such a calculation for two different transverse Green’s functions, say\mathbf{g}^{\perp}=\mathbf{0}$(the Coulomb gauge), and some other (arbitrary) non-zero$\mathbf{g}^{\perp}$. The T-matrix elements$T[\mathbf{g}]{k n}^{(p)}$and$T[0]_{k n}^{(p)}$obtained from$(10.47)$will be different, since the perturbation operators$\mathrm{V}^{(1)}$and$\mathrm{V}^{(2)}$are functionals of$\mathbf{g}, so we need to investigate their difference. Let $$\mathrm{W}[\mathbf{g}]=\mathrm{T}[\mathbf{g}]-\mathrm{T}[0]$$ Where \begin{aligned} & \mathrm{T}[\mathbf{g}]=\mathrm{V}[\mathbf{g}]+\mathrm{V}[\mathbf{g}] \mathrm{G}_0 \mathrm{~T}[\mathbf{g}] \ & \mathrm{T}[0]=\mathrm{V}[0]+\mathrm{V}[0] \mathrm{G}_0 \mathrm{~T}[0] \end{aligned} and define $$\Delta[\mathbf{g}]=\mathrm{V}[\mathbf{g}]-\mathrm{V}[0]$$ # 电动力学代考 ## 物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Gauge Invariance of the S-Matrix 量子电动力学中的规范不变计算问题可以使用中提出的 形式简洁地表述\$6.5$; 交互表示算子 $\mathrm{V}(t)$ 从 (6.85) 得到 的是任意格林函数的函数 $\mathbf{g}$ 因为 $\mathrm{V},(9.154)$, 是，因此时 间发展算子也是:
$$\mathrm{U}\left(t, t_0\right)=\mathrm{U}\left(t, t_0,[\mathbf{g}]\right)$$

$$\mathrm{U}\left(t, t_0,\left[\mathbf{g}^1\right]\right) \neq \mathrm{U}\left(t, t_0,\left[\mathbf{g}^2\right]\right) \quad \mathbf{g}^1 \neq \mathbf{g}^2$$

$$\left|\left\langle\Phi_k\left|\mathrm{U}\left(t, t_0,\left[\mathbf{g}^1\right]\right)\right| \Phi_n\right\rangle\right|^2=\mid\left\langle\Phi_k\left|\mathrm{U}\left(t, t_0,\left[\mathbf{g}^2\right]\right)\right| \Phi_n\right.$$

(6.88) 减少到只是对的一阶近似 $U=U^{(1)}$ ，
$\mathrm{U}\left(t, t_0 ;[\mathbf{g}]\right)^{(1)}=1-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t \mathrm{~V}\left(t^{\prime},[\mathbf{g}]\right) \mathrm{d} t^{\prime} \quad=1-$

$$\mathrm{H}_0\left|\Phi_n\right\rangle=E_n\left|\Phi_n\right\rangle$$

$$\left\langle\Phi_k\left|\mathrm{U}\left(t, t_0 ;[\mathbf{g}]\right)^{(1)}\right| \Phi_n\right\rangle=\left\langle\Phi_k\left|\mathrm{U}\left(t, t_0 ;[0]\right)^{(1)}\right| \Phi_n\right\rangle$$

## 物理代写|电动力学代写electromagnetism代考|Non-resonant Scattering and Perturbation Theory

$$\mathrm{V}=\lambda \mathrm{V}^{(1)}+\lambda^2 \mathrm{~V}^{(2)}$$

$$\mathrm{T}=\sum_{p=1} \lambda^p \mathbf{T}^{(p)}$$

$\mathrm{T}^{(p)}=\mathrm{V}^{(1)} \mathrm{G} 0 \mathrm{~T}^{(p-1)}+\mathrm{V}^{(2)} \mathrm{G}0 \mathrm{~T}^{(p-2)}, \quad p \geq 3$ 与起始值 $$\mathrm{T}^{(1)}=\mathrm{V}^{(1)}, \quad \mathrm{T}^{(2)}=\mathrm{V}^{(2)}+\mathrm{V}^{(1)} \mathrm{G}_0 \mathrm{~T}^{(1)}$$ 假设我们对两个不同的横向格林函数执行这样的计算， 比如说 $\mathbf{g}^{\perp}=\mathbf{0}$ (库仑规) 和其他一些 (任意的) 非零 值 $\mathbf{g}^{\perp}$. 矩阵元素 $T[\mathbf{g}] k n^{(p)}$ 和 $T[0]{k n}^{(p)}$ 从…获取 (10.47) 会有所不同，因为扰动算子 $\mathrm{V}^{(1)}$ 和 $\mathrm{V}^{(2)}$ 是函数式的 $g$ ， 所以我们需要研究它们的区别。 让
$$\mathrm{W}[\mathbf{g}]=\mathrm{T}[\mathbf{g}]-\mathrm{T}[0]$$

$$\mathrm{T}[\mathbf{g}]=\mathrm{V}[\mathbf{g}]+\mathrm{V}[\mathbf{g}] \mathrm{G}_0 \mathrm{~T}[\mathbf{g}] \quad \mathrm{T}[0]=\mathrm{V}[0]+\mathrm{V}[0]$$

$$\Delta[\mathbf{g}]=\mathrm{V}[\mathbf{g}]-\mathrm{V}[0]$$

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