## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|MPCS50103

2023年1月3日

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## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|The Doob decomposition

It is possible to obtain a martingale starting from any process.
THEOREM $4.2$ (Doob decomposition theorem).- Let $X=\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}}$ be a stochastic process that is adapted to the filtration $\left(\mathcal{F}_n\right){n \in \mathbb{N}}$ and integrable. It can then be uniquely decomposed in the form
$$X_n=X_0+M_n+A_n$$
with $M_0=A_0=0, M=\left(M_n\right){n \in \mathbb{N}}$ is a martingale, and $A=\left(A_n\right){n \in \mathbb{N}}$ is a predictable process, which is called the compensator of $X$.

PROOF. – Existence We write $A_0=0$,
$$A_{n+1}=A_n+\mathbb{E}\left[X_{n+1}-X_n \mid \mathcal{F}n\right]=\sum{k=1}^n \mathbb{E}\left[X_{k+1}-X_k \mid \mathcal{F}k\right]$$ $M_0=0$ and $M_n=X_n-A_n$ for $n \geq 1$. We then directly have that $\left(A_n\right)$ is predictable and $\left(M_n\right)$ is adapted. Since the $X_n$ are integrable, $A_n$ and $M_n$ are also adaptable. Furthermore \begin{aligned} \mathbb{E}\left[M{n+1} \mid \mathcal{F}n\right] & =\mathbb{E}\left[X{n+1}-A_{n+1} \mid \mathcal{F}n\right] \ & =\mathbb{E}\left[X{n+1} \mid \mathcal{F}n\right]-A{n+1} \ & =\mathbb{E}\left[X_{n+1} \mid \mathcal{F}n\right]-A_n-\mathbb{E}\left[X{n+1}-X_n \mid \mathcal{F}n\right] \ & =\mathbb{E}\left[X{n+1} \mid \mathcal{F}n\right]-A_n-\mathbb{E}\left[X{n+1} \mid \mathcal{F}n\right]+X_n \ & =X_n-A_n \ & =M_n, \end{aligned} thus $M=\left(M_n\right){n \in \mathbb{N}}$ is a martingale.
Unicity Let us assume that there are two such decompositions:
$$X_n=X_0+M_n+A_n=X_0+M_n^{\prime}-A_n^{\prime} .$$
Then, $A_0-A_0^{\prime}=0$ and since the processes are predictable
\begin{aligned} A_{n+1}-A_{n+1}^{\prime} & =\mathbb{E}\left[A_{n+1}-A_{n+1}^{\prime} \mid \mathcal{F}n\right] \ & =\mathbb{E}\left[M{n+1}-M_{n+1}^{\prime} \mid \mathcal{F}_n\right] \ & =M_n-M_n^{\prime} \ & =A_n-A_n^{\prime} \end{aligned}
because we have martingales. Therefore, $A_n=A_n^{\prime}$ for any $n$, and consequently, $M_n=M_n^{\prime}$ for any $n$. Thus, we do have unicity.

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Stopping time

We now introduce the concept of stopping time. Informally, a stopping time corresponds to a random date, thus a date that is unknown in advance, but such that at any instant it is possible to say whether or not the date has passed.

DEFINITION 4.2.- Let $T: \Omega \longrightarrow \mathbb{N} \cup{+\infty}$ be a random variable. It is said that $T$ is an $\left(\mathcal{F}n\right){n \in \mathbb{N}}$-stopping time, if for any $n \in \mathbb{N},(T \leq n) \in \mathcal{F}_n$.

EXAMPLE 4.7.- Let $T$ be a constant positive random variable. Then, $T$ is an $n$, we have
$$(T \leq n)=\left{\begin{array}{l} \emptyset \text { if } T>n, \ \Omega \text { if } T \leq n, \end{array}\right.$$
As any $\sigma$-algebra contains the empty set and $\Omega$, we have $(T \leq n) \in \mathcal{F}n$. EXAMPLE 4.8.- Let $\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}}$ be a sequence of real random variables. Let $A$ be a Borel set in $\mathbb{R}$ and consider the random variable
$$T=\inf \left{k \in \mathbb{N} ; X_k \in A\right},$$ using the convention $\inf \emptyset=+\infty$. Thus, $T$ is a stopping time with respect to the natural filtration of $\left(X_n\right){n \in \mathbb{N}}$, called the hitting time of the set $A$. Indeed, for any $n \in \mathbb{N}$, we have $$(T \leq n)=\left(X_0 \in A\right) \cup \ldots \cup\left(X{n-1} \in A\right) \cup\left(X_n \in A\right) \in \mathcal{F}n$$ because $\left(\mathcal{F}_n\right){n \in \mathbb{N}}$ is the natural filtration of $\left(X_n\right)_{n \in \mathbb{N}}$.

# 离散数学代写

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|The Doob decomposition

$M_0=0$ 和 $M_n=X_n-A_n$ 为了 $n \geq 1$. 然后我们直 接有 $\left(A_n\right)$ 是可预测的，并且 $\left(M_n\right)$ 被改编。自从 $X_n$ 是 可积的， $A_n$ 和 $M_n$ 也适应性强。此外
$$\mathbb{E}[M n+1 \mid \mathcal{F} n]=\mathbb{E}\left[X n+1-A_{n+1} \mid \mathcal{F} n\right]$$

Unicity 让我们假设有两个这样的分解:
$$X_n=X_0+M_n+A_n=X_0+M_n^{\prime}-A_n^{\prime}$$

$$A_{n+1}-A_{n+1}^{\prime}=\mathbb{E}\left[A_{n+1}-A_{n+1}^{\prime} \mid \mathcal{F} n\right]$$

## 数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Stopping time

\$\$
$(T \backslash e q n)=\backslash l$ eft {
$\emptyset$ if $T>n, \Omega$ if $T \leq n$,

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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