数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|CS3653

2023年3月31日

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离散数学是研究可以被认为是 “离散”(类似于离散变量,与自然数集有偏射)而不是 “连续”(类似于连续函数)的数学结构。离散数学研究的对象包括整数、图形和逻辑中的语句。相比之下,离散数学不包括 “连续数学 “中的课题,如实数、微积分或欧几里得几何。离散对象通常可以用整数来列举;更正式地说,离散数学被定性为处理可数集的数学分支(有限集或与自然数具有相同心数的集)。然而,”离散数学 “这一术语并没有确切的定义。

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数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Set Identities and Methods of Proof

A set identity is an equality between two set expressions that is true for all elements of the sets involved in the identity. In a set identity, some basic set operations are combined to form another set. Table 5.2 presents some important set identities. These identities in set theory are similar to the logical equivalences in logic.

It is a fact of set algebra, called the principle of duality, that the dual of an identity is also an identity, where the dual of an identity can be obtained by replacing each occurrence of $\cup, \cap, U$, and $\varnothing$ in the identity by $\cap, \cup, \varnothing$, and $U$, respectively. Many of the identities in Table 5.2 arranged in pairs reflect the principle of duality.

De Morgan’s laws are prominent set identities that provide a pair of transformation rules. The laws can be expressed as the complement of the union of two sets is the same as the intersection of their complements, and the complement of the intersection of two sets is the same as the union of their complements. De Morgan’s laws are used when the complements of sets are easier to define than the sets themselves.

To prove set identities, membership tables can be used. A table that displays the membership of elements in sets is called a membership table, also known as a truth table. The columns of a membership table must represent the original basic sets and the two sets on both sides of the set identity, where 1 is used to indicate an element that is in the set, and 0 is used to indicate an element that is not in the set. Note that there is a great similarity between membership tables in set theory and truth tables in propositional logic.

Table 5.3 presents a membership table for the union, intersection, difference, and symmetric difference of two sets, as well as the complements of the two sets.

Insights regarding set identities can be obtained from Venn diagrams, but Venn diagrams cannot be used when proving theorems unless special attention is paid to make sure that the diagrams are sufficiently general to encompass all possible cases, and that is a difficult task. As the role of Venn diagrams is not to provide formal proofs, we need formal methods of proving set identities. Here are three distinct methods to prove a set identity:

  1. Show each side of the identity is a subset of the other side. This method of proof is known as the element argument or containment proof. In other words, to prove $M=K$, we need to prove $M \subseteq K$ and $K \subseteq M$. This powerful method brings insight into the proof, but in some cases, this proof method may prove to be rather complex.
  2. Transform one side into the other side step by step by employing the other known set identities. This method of proof is known as the algebraic proof. This is usually the shortest method, provided that there are relevant set identities that can be applied to simplify the set expressions.
  3. Build a membership table step by step for each side of the set identity, and show the columns corresponding to the both sides of the identity are identical. This method, known as proof by membership table, does not provide any insight into the proof. However, it is a straightforward method if the number of the original sets in the identity is just a few, otherwise, a computer should be used to build the membership table of interest.

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Cardinality of Sets

The number of distinct elements in a set $A$ is called the cardinality of $A$, written as $|A|$. The cardinality of a set (i.e., the size of a set) may be finite or infinite. For instance, we have $|\varnothing|=0$ because the empty set has no elements. A set with a finite number of elements is defined as a finite set, and it is thus countable. The exact number of elements in a finite set can be known, such as the set of cards in a deck of playing cards, or unknown,

such as the set of fish in the world. A set that is not finite is infinite, an infinite set is either countable or uncountable. In a countably infinite set, it is possible to list the elements of the set in a sequence indexed by positive integers, such as the set of all prime numbers. On the other hand, in an uncountably infinite set, it is not possible to list the elements of the set in a sequence indexed by positive integers, such as the set of all real numbers between 0 and 1.

A set can have other sets as members. The set of all subsets of a set $A$, which also includes the empty set $\varnothing$ and the set $A$ itself, is called the power set of $A$ and is denoted by $P(A)$. If $A$ is a finite set, then we have
$$
|P(A)|=2^{|A|}
$$
which in turn implies $|A|<|P(A)|$. Given two sets of $A$ and $B$, the Cartesian product of $A$ and $B$, denoted by $A \times B$ and read as ” $A$ cross $B$,” is the set of all ordered pairs $(a, b)$, where $a \in A$ and $b \in B$. The number of ordered pairs in the Cartesian product of $A$ and $B$ is equal to the product of the number of elements in the set $A$ and the number of elements in the set $B$, that is, $|A \times B|=|A||B|$. The Cartesian product of more than two sets can also be defined. The Cartesian product of $n$ sets $A_1, A_2, \ldots, A_n$ is the set of all ordered $\boldsymbol{n}$-tuples, and symbolically is shown as follows:
$$
A_1 \times A_2 \times \ldots \times A_n=\left{\left(a_1, a_2, \ldots, a_n\right) \mid a_1 \in A_1, a_2 \in A_2, \ldots, a_n \in A_n\right} .
$$
The notation for an ordered $n$-tuple is a generalization of the notation for an ordered pair, and it takes both order and multiplicity into account.

A subset $R$ of the Cartesian product $A \times B$ is called a relation from the set $A$ to the set $B$. The elements of $R$ are ordered pairs, where the first element belongs to $A$ and the second to $B$. In general, we have $A \times B \neq B \times A$, unless $A=\varnothing, B=\varnothing$, or $A=B$.

离散数学代写

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Set Identities and Methods of Proof

集合恒等式是两个集合表达式之间的等式,对于恒等式中涉及的集合中的所有元素都为真。在集合恒等式中,一些基本的集合操作组合起来形成另一个集合。表 5.2 给出了一些重要的集合标识。集合论中的这些恒等式类似于逻辑中的逻辑等价。

一个恒等式的对偶也是一个恒等式,这是集合代数的一个事实,称为对偶性原理,其中恒等式的对偶可以通过替换每次出现的∪,∩,在, 和∅在身份上∩,∪,∅, 和在, 分别。表 5.2 中的许多恒等式成对排列,体现了二元性原则。

德摩根定律是提供一对转换规则的显着集合恒等式。该定律可以表示为两个集合的并集的补集与其补集的交集相同,两个集合的交集的补集与其补集的并集相同。当集合的补集比集合本身更容易定义时,将使用德摩根定律。

为了证明集合身份,可以使用成员表。显示集合中元素隶属关系的表称为隶属关系表,也称为真值表。隶属度表的列必须代表原始基本集合和集合标识两边的两个集合,其中1表示元素在集合中,0表示元素不在集合中集。请注意,集合论中的成员表和命题逻辑中的真值表之间有很大的相似性。

表 5.3 给出了两个集合的并集、交集、差集和对称差集以及两个集的补集的隶属度表。

可以从维恩图获得关于集合恒等式的见解,但在证明定理时不能使用维恩图,除非特别注意确保图足够普遍以包含所有可能的情况,这是一项艰巨的任务。由于维恩图的作用不是提供形式化证明,我们需要形式化的方法来证明集合恒等式。以下是证明集合身份的三种不同方法:

  1. 表明身份的每一面都是另一面的子集。这种证明方法称为元素论证或包含证明。换句话说,要证明米=钾, 我们需要证明米⊆钾和钾⊆米. 这种强大的方法带来了对证明的洞察力,但在某些情况下,这种证明方法可能被证明是相当复杂的。
  2. 通过使用其他已知的集合标识,逐步将一侧转换为另一侧。这种证明方法称为代数证明。这通常是最短的方法,前提是存在可用于简化集合表达式的相关集合恒等式。
  3. 对集合身份的每一边逐级建立隶属度表,并显示身份两边对应的列是相同的。这种方法称为成员资格表证明,不提供对证明的任何洞察。但是,如果恒等式中的原始集的数量只有几个,这是一种直接的方法,否则,应该使用计算机来构建感兴趣的隶属度表。

数学代写|离散数学作业代写discrete mathematics代考|Cardinality of Sets

集合中不同元素的数量 $A$ 称为基数 $A$ ,写成 $|A|$. 集合的基 数 (即集合的大小) 可以是有限的或无限的。例如,我 们有 $|\varnothing|=0$ 因为空集没有元素。具有有限个元素的集 合被定义为有限集,因此它是可数的。有限集中元素的 确切个数是可以知道的,比如一副扑克牌中的牌组,或 者是末知的,
如集鱼于世。不是有限的集合是无限的,无限的集合是 可数的或不可数的。在可数无限集合中,可以将集合的 元素列在由正整数索引的序列中,例如所有素数的集 合。另一方面,在一个不可数的无限集合中,不可能将 集合的元素列在由正整数索引的序列中,例如 0 到 1 之 间的所有实数的集合。
一个集合可以有其他集合作为成员。集合的所有子集的 集合 $A$, 其中还包括空集 $\varnothing$ 和集合 $A$ 本身,称为的幂集 $A$ 并表示为 $P(A)$. 如果 $A$ 是一个有限集,那么我们有
$$
|P(A)|=2^{|A|}
$$
这反过来意味着 $|A|<|P(A)|$. 给定两组 $A$ 和 $B$, 的笛卡 尔积 $A$ 和 $B$, 表示为 $A \times B$ 并读作“ $A$ 叉 $B$, 是所有有序对 的集合 $(a, b)$ ,在哪里 $a \in A$ 和 $b \in B$. 的笛卡尔积中的 有序对数 $A$ 和 $B$ 等于集合中元素个数的乘积 $A$ 以及集合中 元素的数量 $B$ ,那是, $|A \times B|=|A||B|$. 也可以定义 两个以上集合的笛卡尔积。的笛卡尔积 $n$ 套
$A_1, A_2, \ldots, A_n$ 是所有有序的集合 $\boldsymbol{n}$-元组,并且符号 化地显示如下:
有序的表示法 $n$-tuple 是对有序对表示法的推广,它同时 考虑了顺序和多重性。
一个子集 $R$ 笛卡尔积 $A \times B$ 被称为集合中的关系 $A$ 到集 合 $B$. 的元素 $R$ 是有序对,其中第一个元素属于 $A$ 第二个 B. 一般来说,我们有 $A \times B \neq B \times A$ ,除非 $A=\varnothing, B=\varnothing$ ,或者 $A=B$.

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题,以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法,其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型;这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型(GLM)归属统计学领域,是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。

有限元方法代写

有限元方法(FEM)是一种流行的方法,用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写


随机微积分是数学的一个分支,对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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