统计代写|数据结构作业代写data structure代考|COS241


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  • Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
  • (Generalized) Linear Models 广义线性模型
  • Statistical Machine Learning 统计机器学习
  • Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
  • Foundations of Data Science 数据科学基础
统计代写|数据结构作业代写data structure代考|COS241

统计代写|数据结构作业代写data structure代考|Test of TIDLE on a Two Clusters Case

To test our approach,t we consider simple synthetic datasets, each constituted of two clusters of different dimensionality generated by a multivariate distribution restricted to a linear subspace of the appropriate dimensionality in a 10 -dimensional ambient space. These clusters are randomly rotated [55], and translated along the diagonal $(1,1, \ldots, 1)$ of the unit hypercube so as to ensure a given distance between their centroids. An example of a similarly generated dataset in a three-dimensional space is shown in Fig. 2.10a. Figure $2.10$ presents the weights $w_k$ identified by TIDLE for the mixture as a function of the component index $k$. The variability of the method is accounted for by considering in each case 100 datasets randomly generated with the same characteristics. The distribution of each weight $w_k$ over the 100 runs is shown as a box plot. For all datasets, the clusters each contain 500 points and the neighbourhood size is set at $\kappa=100$.

Figure $2.10 \mathrm{~b}$ presents the results for the standard case, where the dimensionality of the two Gaussian distributed clusters is respectively three and seven. Those clusters (of unit variance) are well-separated with a distance of five hypercube diagonals, and subject to no noise. The three-dimensional component is detected in at least $95 \%$ of the runs and in these cases its associated weight is higher than $0.3$, as shown by the fifth percentile of the distribution of $w_3$. As for the seven-dimensional component, it is detected in at least $75 \%$ of cases, considering the first quartile of the distribution of $w_7$. Yet, for some datasets, several components of close dimensionality are detected for a same cluster. In particular, the seven-dimensional cluster is also partly explained by a six-dimensional component in at least $50 \%$ of cases, considering the median of the distribution of $w_6$.

统计代写|数据结构作业代写data structure代考|Link Between Distortions and Mapping Continuity

Distortions of neighbourhood relations may be interpreted in terms of mapping continuity. Intuitively, the continuity of a mapping $\widehat{\Phi}: \mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{E}$ between metric spaces ensures that the image of a sufficiently small ball around a point $\xi_0$ by the mapping is comprised within a ball of given size around the point image $x_0=\widehat{\Phi}\left(\xi_0\right)$. More formally:

Definition $3.1$ A mapping $\widehat{\Phi}: \mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{E}$, with $(\mathcal{D}, \Delta)$ and $(\mathcal{E}, D)$ metric spaces is said to be continuous in $\xi_0 \in \mathcal{D}$ if for all $\epsilon>0$, there exists $\omega>0$ so that for $\xi \in \mathcal{D}, \Delta\left(\xi_i, \xi\right)<\omega \Longrightarrow D\left(\widehat{\Phi}\left(\xi_0\right), \widehat{\Phi}(\xi)\right)<\epsilon$. This means that for any ball $\mathcal{B}\left(x_0, \epsilon\right)$ (centred at $x_i=\widehat{\Phi}\left(\xi_0\right)$ and of radius $\epsilon$ ) in the co-domain, there exists a radius $\omega$ such that the image by $\widehat{\Phi}$ of the ball $\mathcal{B}\left(\xi_0, \omega\right)$ is included in $\mathcal{B}\left(x_0, \epsilon\right)$ (see the illustration in Fig. 3.2).

In practice, most DR methods only define a discrete mapping $\Phi:\left{\xi_i\right} \longrightarrow\left{x_i\right}$. Thus, the formal concept of continuity may only be applied to an extension $\widehat{\Phi}: \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{E}$ of $\Phi$ to the entire data manifold $\mathcal{M}$.

A manifold tear or missed neighbourhood corresponds to a case where a neighbour $\xi$ of a data point $\xi_0$ (which means a point that would be in “any” ball centred at $\xi_0$ ) is not mapped within a ball around the image $x_0=\widehat{\Phi}\left(\xi_0\right)$ of $\xi_0$. Hence, this type of distortion suggests a breach of continuity of the mapping $\widehat{\Phi}$.
Conversely, a manifold gluing or false neighbourhood implies a breach of continuity for the mapping inverse $\widehat{\Phi}^{-1}$. Indeed, it means that a neighbour $x$ of an embedded point $x_0$, which is a point that would be in “any” ball centred at $x_0$, is not mapped within a ball around the image $\xi=\widehat{\Phi}^{-1}(x)$ of $x$. Note that this relies on the assumption that $\widehat{\Phi}$ admits an inverse.

In that regard,t an ideal mapping, subject to no distortions would be a homeomorphism or bi-continuous function, namely an invertible function that is continuous and whose inverse is continuous. Distortions indicators described in Sect. 3.2.4 assess the breach of continuity for the theoretical mapping $\widehat{\Phi}$ (and its inverse) based on the available information for the discrete mapping $\Phi$, which is its restriction to the sample points $\left{\xi_i\right}$. For rank-based indicators, this is done by considering the preservation of $\kappa$-neighbourhoods, which are balls centred at the points and whose radii are defined by the distance to the $\kappa^{\text {th }}$ nearest neighbour of each point.

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统计代写|数据结构作业代写data structure代考|Test of TIDLE on a Two Clusters Case

为了测试我们的方法,我们考虑简单的合成数据集,每个数据集由两个不同维度的集群组成,这些集群由限制在 10 维环境空间中适当维度的线性子空间的多元分布生成。这些簇随机旋转 [55],并沿对角线平移(1,1,…,1)单位超立方体,以确保它们的质心之间的给定距离。图 2.10a 显示了三维空间中类似生成的数据集的示例。数字2.10给出权重在k由 TIDLE 将混合物识别为成分指数的函数k. 通过在每种情况下考虑随机生成的具有相同特征的 100 个数据集来考虑该方法的可变性。每个权重的分布在k超过 100 次运行显示为箱线图。对于所有数据集,每个聚类包含 500 个点,邻域大小设置为钾=100.

数字2.10 b给出了标准情况下的结果,其中两个高斯分布式集群的维数分别为三和七。这些簇(单位方差)以五个超立方对角线的距离很好地分开,并且不受噪声影响。至少检测到三维分量95%运行的,在这些情况下,其相关权重高于0.3,如分布的第五个百分位数所示在3. 至于七维成分,至少检测到75%个案,考虑分布的第一个四分位数在7. 然而,对于某些数据集,会为同一集群检测到多个紧密维度的组件。特别是,七维集群也至少由六维成分部分解释50%个案,考虑分布的中位数在6.

统计代写|数据结构作业代写data structure代考|Link Between Distortions and Mapping Continuity

邻里关系的扭曲可以用映射连续性来解释。直观地,映 射的连续性 $\widehat{\Phi}: \mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{E}$ 度量空间之间确保一个足够小 的球围绕一个点的图像 $\xi_0$ 通过映射包含在点图像周围给 定大小的球内 $x_0=\widehat{\Phi}\left(\xi_0\right)$. 更正式地说:
定义 $3.1$ 映射 $\widehat{\Phi}: \mathcal{D} \longrightarrow \mathcal{E}$ ,和 $(\mathcal{D}, \Delta)$ 和 $(\mathcal{E}, D)$ 度量 空间被称为连续的 $\xi_0 \in \mathcal{D}$ 如果对所有人 $\epsilon>0$ ,那里存 在 $\omega>0$ 这样对于 $\xi \in \mathcal{D}, \Delta\left(\xi_i, \xi\right)<\omega \Longrightarrow D\left(\widehat{\Phi}\left(\xi_0\right), \widehat{\Phi}(\xi)\right)<\epsilon$. 这意味着对于任何球 $\mathcal{B}\left(x_0, \epsilon\right)$ (以 $x_i=\widehat{\Phi}\left(\xi_0\right)$ 和半径 є) 在共域中,存在半径 $\omega$ 这样图像由 $\widehat{\Phi}$ 球的 $\mathcal{B}\left(\xi_0, \omega\right)$ 包 含在 $\mathcal{B}\left(x_0, \epsilon\right)$ (见图 $3.2$ 中的图示) 。
实际上,大多数 DR 方法只定义一个离散映射 |Phi:Vleft{xi_ilvight} Nlongrightarrowlleft{X_itright} . 因 此,形式上的连续性概念可能仅适用于扩展 $\widehat{\Phi}: \mathcal{M} \longrightarrow \mathcal{E}$ 的 $\Phi$ 到整个数据流形 $\mathcal{M}$.
歧管斯裂或遗漏邻域对应于邻居的情况 $\xi 一 个$ 数据点 $\xi_0$ (这意味着以“任何”球为中心的点 $\xi_0$ ) 末映射到图像周围 的球内 $x_0=\widehat{\Phi}\left(\xi_0\right)$ 的 $\xi_0$. 因此,这种类型的失真表明 映射的连续性遭到破坏 $\widehat{\Phi}$.
相反,流形粘合或错误邻域意味着违反映射逆的连续性 $\widehat{\Phi}^{-1}$. 确实,这意味着邻居 $x$ 一个嵌入点 $x_0$ ,这是一个以 “任何”球为中心的点 $x_0$ ,末映射到图像周围的球内 $\xi=\widehat{\Phi}^{-1}(x)$ 的 $x$. 请注意,这依赖于以下假设 $\widehat{\Phi}$ 承认 逆。
在这方面,没有失真的理想映射将是同胚或双连续函 数,即连续的可逆函数,其反函数是连续的。节中描述 的失真指标。 3.2.4 评估理论映射的连续性破坏 $\widehat{\Phi}$ (及其 逆)基于离散映射的可用信息 $\Phi$ ,这是它对样本点的限 留 $\kappa$-neighbourhoods,它们是以点为中心的球,其半 径由到点的距离定义 $\kappa^{\text {th }}$ 每个点的最近邻。

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术语 广义线性模型(GLM)通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归,以及方差分析和方差分析(仅含固定效应)。



有限元是一种通用的数值方法,用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程(即一些边界值问题)。为了解决一个问题,有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分,称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的,它是通过构建对象的网格来实现的:用于求解的数值域,它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统,以模拟整个问题。然后,有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。





随机过程,是依赖于参数的一组随机变量的全体,参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现,其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值(如1秒,5分钟,12小时,7天,1年),因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中,往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录,以得到其自身发展的规律。


多元回归分析渐进(Multiple Regression Analysis Asymptotics)属于计量经济学领域,主要是一种数学上的统计分析方法,可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系,在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。


MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中,其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括:数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发,包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统,其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题,尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题,而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问,这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展,得到了许多用户的投入。在大学环境中,它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域,MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要,工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数(M 文件)的综合集合,可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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