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宇宙学是天文学的一个分支，涉及宇宙的起源和演变，从大爆炸到今天，再到未来。宇宙学的定义是 “对整个宇宙的大尺度特性进行科学研究”。

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物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Relation between scale factor and temperature

The primordial plasma is in adiabatic expansion and its entropy is preserved. We consider an elementary volume expanding with space. Such a volume is called a covolume because its comoving coordinates $r, \theta$ and $\phi$ do not vary with time. For simplicity, a volume equal to $a^3$ is taken where $a(t)$ is the scale factor. The entropy of the primordial plasma contained in this volume is written as:
$$
s=\mathcal{S}(T) a^3
$$
and does not vary with time. Equation [1.43] allow the entropy $s$ to be directly expressed as a function of the temperature $T$ and the scaling factor $a$ :
$$
s \equiv \frac{4 \pi^2}{45} T^3 h_{\mathrm{eff}}(T) a^3
$$
We thus obtain a relation between the logarithmic derivatives of $a$ and $T$ in the form:
$$
H \equiv \frac{\dot{a}}{a}=-\frac{\dot{T}}{T}\left{1+\frac{1}{3} \frac{\mathrm{d} \ln h_{\mathrm{eff}}}{\mathrm{d} \ln T}\right}
$$
which now makes it possible to solve equation [1.59] relating to the expansion.
As a first approximation, we can neglect the variations of the coefficient $h_{\text {eff }}$ with temperature. Figure $1.3$ shows that $h_{\text {eff }}$ varies only by a factor of 8 when the temperature decreases by three orders of magnitude, from $10 \mathrm{GeV}$ to $10 \mathrm{MeV}$. Thereby, we deduce a value of $0.1$ for the term $\mathrm{d} \ln h_{\mathrm{eff}} / 3 \mathrm{~d} \ln T$ between the previous braces $s_4$ a small value compared to $1_{\text {. The conservation of entropy s thus implies, up }}$ to the variations of $h_{\mathrm{eff}}$, that the product $T \times a$ of the temperature by the scale factor does not vary with time. From this relation, we shall be able to derive analytically the age of the universe based on the temperature of the ylem with a quite acceptable accuracy.

One should notice however that if $h_{\text {eff }}$ varies globally only very little with time. this is not the case during the quarks/hadrons phase transition during which the QGP transforms into a plasma of pions, with traces of protons and neutrons. We have assumed this transition to be of first order, hence a sharp decrease in $h_{\text {eff }}$ from $31.03$ to 8.48. During this phase transition, the temperature remains locked at $200 \mathrm{MeV}$, so that it is the product $h_{\text {eff }} \times a^3$ which is now constant. The scale factor has increased by a factor $(31.03 / 8.48)^{1 / 3} \simeq 1.54$ when the transition ends.

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Relation between cosmic time and temperature

We can now integrate equation [1.59] by taking into account relation [1.64] that we just established between the scale factor $a$ and the temperature $T$. It expresses the fact that the product $h_{\text {eff }} T^3 a^3$ is constant during the expansion. During the cosmic time $d t$, the temperature of ylem varies by $d T$, such that:
$$
d t=-\sqrt{\frac{45}{8 \pi^3}} M_{\mathrm{Pl}}\left{\frac{1+\left(\mathrm{d} \ln h_{\mathrm{eff}} / 3 \mathrm{~d} \ln T\right)}{\sqrt{g_{\mathrm{eff}}}}\right} \frac{d T}{T^3}
$$
The integration of this differential equation is in principle easy, using, for example, the classical fourth-order Runge-Kutta method (Press et al. 2007). The only technical difficulty is the divergence of the derivative of $\ln h_{\text {eff }}$ with respect to $\ln T$ at the time of the quarks/hadrons phase transition.

Forgetting this problem for the moment and neglecting the variation of $h_{\mathrm{eff}}$ with temperature, it follows that:
$$
d t=-\sqrt{\frac{45}{8 \pi^3}} \frac{M_{\mathrm{Pl}}}{\sqrt{g_{\mathrm{eff}}}} \frac{d T}{T^3}
$$
The age of the universe $t$ is given by the integral on the temperature $T^{\prime}$ varying from infinity, a value corresponding to the Big Bang, down to $T$ :
$$
t=\int_0^t d t^{\prime}=\sqrt{\frac{45}{32 \pi^3}} \int_{\infty}^T \frac{M_{\mathrm{Pl}}}{\sqrt{g_{\mathrm{eff}}\left(T^{\prime}\right)}} d\left(T^{\prime-2}\right)
$$
The temperature values near $T$ provide the dominant contribution to this integral. The coefficient $g_{\text {eff }}$ can be evaluated at temperature $T$ and treated as a constant. The cosmic time is then simplified to:
$$
t \simeq \sqrt{\frac{45}{32 \pi^3}} \frac{M_{\mathrm{Pl}}}{\sqrt{g_{\mathrm{eff}}(T)}} \int_{\infty}^T d\left(T^{\prime-2}\right) \equiv \sqrt{\frac{45}{32 \pi^3}} \frac{1}{\sqrt{g_{\mathrm{eff}}(T)}} \frac{M_{\mathrm{P} 1}}{T^2}
$$
The previous expression is evaluated in the system of units where $c=k_{\mathrm{B}}=$ $\hbar=1$. The Planck mass $M_{\mathrm{Pl}}$ and the temperature $T$ can be expressed in $\mathrm{MeV}$, so that the ratio $M_{\mathrm{Pl}} / T^2$ is evaluated in $\mathrm{MeV}^{-1}$. To obtain a cosmic time $t$ expressed in seconds, one mainly has to multiply the result by the reduced Planck constant $\hbar=6.582 \times 10^{-22} \mathrm{MeV} \mathrm{s}$. Our final result is then written in the form:
$$
t \simeq \frac{1.71 \mathrm{~s}}{\sqrt{g_{\mathrm{eff}}(T)}}\left{\frac{1 \mathrm{MeV}}{T}\right}^2
$$

宇宙学代考

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Relation between scale factor and temperature

原始等离子体处于绝热膨胀状态，其熵保持不变。我们 考虑一个随空间扩展的基本体积。这样的体积称为共体 积，因为它的同动坐标 $r, \theta$ 和 $\phi$ 不随时间变化。为简单起 见，体积等于 $a^3$ 被带到哪里 $a(t)$ 是比例因子。本卷所含 的原始等离子体的熵写为:
$$
s=\mathcal{S}(T) a^3
$$
并且不随时间变化。方程 [1.43] 允许熵 $s$ 直接表示为温 度的函数 $T$ 和比例因子 $a$ :
$$
s \equiv \frac{4 \pi^2}{45} T^3 h_{\mathrm{eff}}(T) a^3
$$
因此，我们获得了对数导数之间的关系 $a$ 和 $T$ 形式:
H lequiv Ifrac ${\backslash d o t{a}}{}=-$ Ifrac ${\backslash \operatorname{dot}{T}}{T} \backslash \operatorname{lef}{1+\mid$ frac
现在可以求解与展开有关的方程 [1.59]。
作为一阶近似，我们可以忽略系数的变化 $h_{\text {eff }}$ 与温度。 数字 $1.3$ 表明 $h_{\text {eff }}$ 当温度下降三个数量级时，仅变化 8 倍，从 $10 \mathrm{GeV}$ 到 $10 \mathrm{MeV}$. 因此，我们推导出一个值 $0.1$ 对于这个词 $\mathrm{d} \ln h_{\text {eff }} / 3 \mathrm{~d} \ln T$ 在前面的括号之间 $s_4$ 一个小值相比

1. The conservation of entropy s thus implies, up 的变化 $h_{\text {eff }}$ ，即产品 $T \times a$ 比例因子的温度不随时间变化。从这个 关系中，我们将能够以相当可接受的精度，根据 ylem 的温度分析推导出宇宙的年龄。
   然而，人们应该注意到，如果 $h_{\mathrm{eff}}$ 在全球范围内随时间 变化很小。在夸克/强子相变期间情况并非如此，在此期 间 QGP 转变成介子等离子体，带有质子和中子的痕迹。 我们假设这种转变是一阶的，因此急剧下降 $h_{\mathrm{eff}}$ 从 31.03到 8.48。在此相变期间，温度保持锁定在 $200 \mathrm{MeV}$ ，所以它是产品 $h_{\text {eff }} \times a^3$ 现在是不变的。比 例因子增加了一个因子 $(31.03 / 8.48)^{1 / 3} \simeq 1.54$ 当过 渡结束时。

物理代写|宇宙学代写cosmology代考|Relation between cosmic time and temperature

我们现在可以通过考虑我们刚刚在比例因子之间建立的 关系 [1.64] 来整合方程 [1.59] $a$ 和温度 $T$. 它表达了产品 的事实 $h_{\text {eff }} T^3 a^3$ 在扩张期间是恒定的。在宇宙时间 $d t$ ， ylem 的温度随 $d T$ ，这样:
$\mathrm{d} \mathrm{t}=-$ Isqrt $\left.\left{\backslash \operatorname{frac}{45}\left{8 \backslash \mathrm{pi}^{\wedge} 3\right}\right} M_{-}{\backslash \mathrm{mathrm}{\mathrm{P}}}\right} \backslash \mathrm{eft}{\backslash \operatorname{frac}{1+$
这个微分方程的积分原则上很容易，例如，使用经典的 四阶 Runge-Kutta 方法 (Press 等人，2007 年)。唯一 的技术困难是导数的发散 $\ln h_{\text {eff }}$ 关于 $\ln T$ 在夸克/强子 相变时。
暂时忘记这个问题，忽略变化 $h_{\text {eff }}$ 随苃温度，它遵循:
$$
d t=-\sqrt{\frac{45}{8 \pi^3}} \frac{M_{\mathrm{Pl}}}{\sqrt{g_{\mathrm{eff}}}} \frac{d T}{T^3}
$$
宇宙年龄 $t$ 由温度积分给出 $T^{\prime}$ 从无穷大变化，一个对应于大爆炸的值，下降到 $T$ :
$$
t=\int_0^t d t^{\prime}=\sqrt{\frac{45}{32 \pi^3}} \int_{\infty}^T \frac{M_{\mathrm{Pl}}}{\sqrt{g_{\mathrm{eff}}\left(T^{\prime}\right)}} d\left(T^{\prime-2}\right)
$$
附近的温度值 $T$ 为这个积分提供主要贡献。系数 $g_{\text {eff }}$ 可 以在温度下进行评估 $T$ 并视为常数。宇宙时间被简化 为:
$$
t \simeq \sqrt{\frac{45}{32 \pi^3}} \frac{M_{\mathrm{Pl}}}{\sqrt{g_{\mathrm{eff}}(T)}} \int_{\infty}^T d\left(T^{\prime-2}\right) \equiv \sqrt{\frac{45}{32 \pi^3}}
$$
前面的表达式在单位制中计算，其中 $c=k_{\mathrm{B}}=\hbar=1$. 普朗克质量 $M_{\mathrm{P} 1}$ 和温度 $T$ 可以表示为 $\mathrm{MeV}$ ， 这样比率 $M_{\mathrm{Pl}} / T^2$ 被评估在 $\mathrm{MeV}^{-1}$. 获得宇宙时间 $t$ 以秒表示， 主要是将结果乘以约化的普朗克常数
$\hbar=6.582 \times 10^{-22} \mathrm{MeVs}$. 然后我们的最终结果写成 以下形式:

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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