## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|MATH4307

2023年2月1日

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## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Dirichlet’s characters

Definition 7.1. A Dirichlet character $(\bmod k)$ is an arithmetical function
$$\chi: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{C}$$
satisfying
(i) $\chi(m n)=\chi(m) \chi(n)$ for all $m, n \in \mathbf{N}$.
(ii) $|\chi(n)|= \begin{cases}1 & \text { if }(n, k)=1 \ 0 & \text { otherwise. }\end{cases}$
(iii) $\chi(n+k m)=\chi(n)$ for all $n, m \in \mathbf{N}$,
(iv) $\chi^{\varphi(k)}(n)=1,(n, k)=1$.
Remark 7.1.
(a) The values of $\chi$ are 0 or $\varphi(k)$-th roots of unity. This follows from (iv).
(b) There are only finitely many characters $(\bmod k)$. This follows from the fact that $\chi$ is defined on $\varphi(k)$ values $j$ with $1 \leq j \leq k$ and $(j, k)=1$. Hence, from (iv), we see that for each $j$, there are $\varphi(k)$ values we can assign to $\chi(j)$. This shows that there can be at most $\varphi(k)^{\varphi(k)}$ characters.
(c) If $\chi_1$ and $\chi_2$ are characters $(\bmod k)$, then so is $\chi_1 \chi_2$.
(d) A character $\chi(\bmod k)$ can be obtained from a homomorphism
$$\tilde{\chi}:(\mathbf{Z} / k \mathbf{Z})^* \rightarrow{z \in \mathbf{C} | z \mid=1}$$
where $(\mathbf{Z} / k \mathbf{Z})^*$ is the multiplicative group of residue classes
$$\left(\left{[n]_k \mid(n, k)=1\right}, \cdot\right),$$
with multiplication – as group operation. Given a character $\tilde{\chi}$, one defines
$$\chi(n)= \begin{cases}\widetilde{\chi}\left([n]_k\right), & (n, k)=1 \ 0, & \text { otherwise }\end{cases}$$
Conversely, given $\chi$, one obtains a homomorphism $\tilde{\chi}$ given by
$$\tilde{\chi}\left([n]_k\right)=\chi(n)$$

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Division Algorithm

Theorem 1.5 (Division Algorithm). Let $a$ and $b$ be integers such that $b>0$. Then there exist unique integers $q$ and $r$ with
$$a=b q+r, \quad \text { where } 0 \leq r<b .$$
Proof. Let
$$S={y \mid y=a-b x, \quad x \in \mathbf{Z} \text { and } y \geq 0} .$$

Note that since
$$a-b(-|a|)=a+b|a| \geq 0,$$
we find that
$$a+b|a| \in S,$$
and we conclude that $S$ is nonempty. By the Least Integer Axiom, $S$ contains a least non-negative integer, which we denote by $r$. We note that since $r \in S$,
$$r=a-b q,$$
for some integer $q$. We therefore conclude that
$$a=b q+r \text { and } r \geq 0 .$$
We now show that $r0$ and hence $r-b<r$. Hence, we have found a nonnegative integer $r-b$ contained in $S$ and smaller than $r$. This contradicts the minimality of $r$ and we conclude that $r<b$.

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Dirichlet’s characters

$$\chi: \mathbf{N} \rightarrow \mathbf{C}$$

(一) $\chi(m n)=\chi(m) \chi(n)$ 对所有人 $m, n \in \mathbf{N}$.
(二) $|\chi(n)|={1 \quad$ if $(n, k)=10 \quad$ otherwise.
(三) $\chi(n+k m)=\chi(n)$ 对所有人 $n, m \in \mathbf{N}$ ，
(iv) $\chi^{\varphi(k)}(n)=1,(n, k)=1$.

(a) 的价值 $\chi$ 是 0 或 $\varphi(k)$-统一的根源。这是从 (iv) 得出 的。
(b) 只有有限多个字符 $(\bmod k)$. 这是因为 $\chi$ 定义于 $\varphi(k)$ 价值观 $j$ 和 $1 \leq j \leq k$ 和 $(j, k)=1$. 因此，从 (iv) 中，我们看到对于每个 $j$ ，有 $\varphi(k)$ 我们可以分配的值 $\chi(j)$. 这表明最多可以有 $\varphi(k)^{\varphi(k)}$ 人物。
(c) 如果 $\chi_1$ 和 $\chi_2$ 是字符 $(\bmod k)$ ，那么也是 $\chi_1 \chi_2$.
(d) 一个字符 $\chi(\bmod k)$ 可以从同态获得
$$\tilde{\chi}:(\mathbf{Z} / k \mathbf{Z})^* \rightarrow z \in \mathbf{C}|z|=1$$
$$(\mathbf{Z} / k \mathbf{Z})^*$$\begin{aligned} & \tilde{\chi} \ & \chi(n)=\left{\tilde{\chi}\left([n]_k\right), \quad(n, k)=10, \quad \text { otherwise }\right. \ & \chi \tilde{\chi} \ & \quad \tilde{\chi}\left([n]_k\right)=\chi(n)\end{aligned}

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Division Algorithm

$a=b q+r, \quad$ where $0 \leq r<b$.

$$S=y \mid y=a-b x, \quad x \in \mathbf{Z} \text { and } y \geq 0 .$$

$$a-b(-|a|)=a+b|a| \geq 0,$$

$$a+b|a| \in S,$$

$$r=a-b q,$$

$$a=b q+r \text { and } r \geq 0 .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。