## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|MATH3170

2023年2月1日

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## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Absolute convergence of a Dirichlet series

A Dirichlet series is a series of the form
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}, s=\sigma+i t,$$
where $f(n)$ is an arithmetical function.
Note that if $\sigma \geq a$ then $\left|n^s\right| \geq n^a$. Therefore,
$$\left|\frac{f(n)}{n^s}\right| \leq \frac{|f(n)|}{n^a} .$$
Therefore, if a Dirichlet series converges absolutely for $s=a+i b$, then by the comparison test, it also converges absolutely for all $s$ with $\sigma \geq a$. This observation implies the following theorem.
Theorem 6.1. Suppose the series
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{f(n)}{n^s}\right|$$
does not converge for all $s$ or diverge for all $s$. Then there exists a real number $\sigma_a$ called the abscissa of absolute convergence, such that the series
$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}$$
converges absolutely if $\sigma>\sigma_a$ but does not converge absolutely if $\sigma<\sigma_a$.
Proof. Let $D$ be the set of all reals $\sigma$ such that
$$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{f(n)}{n^s}\right|$$ diverges. Then $D$ is not empty because the series does not converge for all $s$. The set $D$ is bounded above since the series does not diverge for all $s$. Therefore, $D$ has a least upper bound which we call $\sigma_a$. If $\sigma<\sigma_a$, then $\sigma \in D$, otherwise $\sigma$ would be an upper bound for $D$ smaller than the least upper bound. If $\sigma>\sigma_a$, then $\sigma \notin D$ since $\sigma_a$ is an upper bound for $D$. This proves the theorem.

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Multiplication of Dirichlet series

The next theorem relates products of Dirichlet series with the Dirichlet convolution of their coefficients.

Theorem 6.3. Given two functions $F(s)$ and $G(s)$ represented by Dirichlet series
$$F(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s} \quad \text { for } \sigma>a,$$
and
$$G(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{g(n)}{n^s} \quad \text { for } \sigma>b .$$
Then in the half plane where both series converge absolutely, we have
$$F(s) G(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f * g(n)}{n^s} .$$
If
$$F(s) G(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(n)}{n^s}$$
for all $s$ in a sequence $\left{s_k\right}$ such that $\sigma_k \rightarrow \infty$ as $k \rightarrow \infty$ then $\alpha=f * g$.

Proof. For any $s$ for which both series converge absolutely, we have
$$F(s) G(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{f(n) g(m)}{(n m)^s}$$

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Absolute convergence of a Dirichlet series

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}, s=\sigma+i t,$$

$$\left|\frac{f(n)}{n^s}\right| \leq \frac{|f(n)|}{n^a} .$$

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left|\frac{f(n)}{n^s}\right|$$

$$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s}$$

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Multiplication of Dirichlet series

$$F(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f(n)}{n^s} \quad \text { for } \sigma>a,$$

$$G(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{g(n)}{n^s} \quad \text { for } \sigma>b$$

$$F(s) G(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{f * g(n)}{n^s} .$$

$$F(s) G(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\alpha(n)}{n^s}$$

$$F(s) G(s)=\sum_{n=1}^{\infty} \sum_{m=1}^{\infty} \frac{f(n) g(m)}{(n m)^s}$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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