# 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|MAST90136

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|The Bertrand Postulate

In this section, we will use the properties of the functions $\theta(x)$ and $\psi(x)$ to give a proof of the well-known Bertrand’s Postulate.

Theorem 4.9 (Bertrand’s Postulate). Let $n$ be an integer. Then for $n \geq 2$, there exists a prime $p$ between $n$ and $2 n$.

Most books that discuss Theorem $4.9$ prove the result following Erdös’ approach (see Exercise 4.7, Problem 8). In this book, we present the proof due to S. Ramanujan. [9] This proof was mentioned in an interesting article by P. Erdös titled “Ramanujan and I” [3]. Erdös’ proof of Theorem $4.9$ was published around 1932 and it was Kalmar who asked Erdös to look up on Ramanujan’s proof and that was the first time Erdös heard about Ramanujan [3].
By definitions of $\psi(x)$ and $\theta(x)$, we observe that
Lemma 4.10. For each positive real number $x$,
$$\psi(x)=\theta(x)+\theta(\sqrt{x})+\theta(\sqrt[3]{x})+\cdots .$$
Next, we will show that
Lemma 4.11.
$$\ln ([x] !)=\psi(x)+\psi\left(\frac{x}{2}\right)+\psi\left(\frac{x}{3}\right)+\cdots$$

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|The Prime Number Theorem

In Chapter 4, Corollary 4.6, we proved that the Prime Number Theorem is equivalent to the statement
$$\psi(x) \sim x .$$
In this chapter, we will prove the following theorem.
Theorem 5.1. For positive real number $x$, we have
$$\psi(x)=x+O(x \exp (-c \sqrt[10]{\ln x}))$$
where $c>0$ is some constant independent of $x$.
We note that (5.1) follows immediately from Theorem 5.1.
Theorem $5.1$, which was mentioned in [11, p. 169], is weaker than the result obtained independently by J. Hadamard and de la Valleé Poussin, which states that
$$\psi(x)=x+O(x \exp (-c \sqrt{\ln x})) .$$
But the treatment here (adapted from A. Hildebrand’s 1991 “Analytic Number Theory” notes [5]) allows us to appreciate the analytic method used in the proofs of the Prime Number Theorem with less technicalities.

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|The Bertrand Postulate

$$\psi(x)=\theta(x)+\theta(\sqrt{x})+\theta(\sqrt[3]{x})+\cdots$$

$$\ln ([x] !)=\psi(x)+\psi\left(\frac{x}{2}\right)+\psi\left(\frac{x}{3}\right)+\cdots$$

## 数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|The Prime Number Theorem

$$\psi(x) \sim x .$$

$$\psi(x)=x+O(x \exp (-c \sqrt[10]{\ln x}))$$

$$\psi(x)=x+O(x \exp (-c \sqrt{\ln x})) .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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