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凸优化是数学优化的一个子领域，研究的是凸集上凸函数最小化的问题。许多类凸优化问题都有多项时间算法，而数学优化一般来说是NP困难的。

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数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Probabilistic Bounds in Multi-Objective

Randomization is one of the most important ideas used in the construction of heuristic methods for multi-objective optimization. Mathematically substantiated stochastic methods for non-convex multi-objective optimization attracted interest of researchers quite recently. A natural idea is to generalize single-objective optimization methods to the multi-objective case, and a prospective candidate is the well-developed method based on the statistical methods of extremal values. A brief review of this approach, known as a branch and probability bound (BPB) method is presented in Section 4.4. Some statistical procedures which are well known in single-objective optimization can be extended to multi-objective problems using scalarization. In this chapter, a version of multi-objective BPB method is described and discussed; this method is an extension of the BPB method developed for the case of a single-objective function in [237], see also [239, Section 2.6.1]. The considered extension is based on the Tchebycheff scalarization method briefly discussed in Chapter 2.

Let us recall that by means of the Tchebycheff scalarization a multi-objective optimization problem
$$
\min {\mathbf{x}} \in \mathbf{A f}(\mathbf{x}), \mathbf{f}(\mathbf{x})=\left(f_1(\mathbf{x}), f_2(x), \ldots, f_m(\mathbf{x})\right)^T, \mathbf{A} \subset \mathbb{R}^d, $$ is reduced to the single-objective optimization problem where the objective function is defined using the following formula: $$ \begin{aligned} &g(\mathbf{x}, \mathbf{w})=\max {i=1, \ldots, m} w_i\left(f_i(\mathbf{x})-u_i\right), \
&w_t \geq 0 \text { for } i=1, \ldots, m \text { and } \sum_{i=1}^m w_i=1,
\end{aligned}
$$ and $\mathbf{u}$ is a so-called utopian vector
$$
u_i<\min f_i(\mathbf{x}) \text { for } i=1, \ldots, m .
$$
The minimizer of (8.2) is a weakly Pareto optimal decision of the respective multi-objective optimization problem. Similarly, by the modified versions of the Tchebycheff scalarization, defined by (2.5) and (2.6), exclusively the Pareto optimal decisions can be found.

More precisely this can be formulated as follows [135]. Let $\mathbf{y} \in \mathbf{P}(\mathbf{f})O$ be any Pareto optimal objective vector, then it corresponds to a minimum of an objective function (2.5) defined by the modified Tchebycheff scalarization. The parameters of the objective function (2.5) should satisfy the following requirements: $\rho \geq 0$ should be sufficiently small, and weights should be defined by the following formulas: $w_i=$ $\beta /\left(y_i-u_i\right), i=1, \ldots, m$, where $\mathbf{u}$ is a utopian vector. On the other hand, the set $\left{\mathbf{f}\left(\mathbf{x}{\mathbf{w}}\right): w_i \geq 0, \sum_{i=1}^m w_i=1\right}$ is coincident with $\mathbf{P}(\mathbf{f})O$, where $\mathbf{x}{\mathbf{w}}$ is an optimal decision of the scalarized problem corresponding to the vector of weights w. Let us recall that when the original Tchebycheff scalarization (8.2) is used, the weakly Pareto optimal solutions can be obtained besides of Pareto optimal solutions.

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|Statistical Inference About the Minimum of a Function

Let $f(\mathbf{x})$ be a function given on a feasible region $\mathbf{A}$ and let $\mathbf{x}1, \ldots, \mathbf{x}_n$, be identically distributed points in A. Note that in the present section the estimation of the minimum of a scalar-valued function is considered. Further, we provide estimates for $\mathrm{m}=\min {\mathbf{x} \in \mathrm{A}} f(\mathbf{x})$, and show how to construct confidence intervals for $\mathrm{m}$.

From the sample $\left{\mathbf{x}1, \ldots, \mathbf{x}_n\right}$ we pass to the sample $\mathbf{Y}=\left{y_1, \ldots, y_n\right}$ consisting of the values $y_j=f\left(\mathbf{x}_j\right)$ of the objective function $f(\mathbf{x})$ at the points $\mathbf{x}_j(j=1, \ldots, n)$. The sample $\mathbf{Y}$ is independent, and its underlying cumulative distribution function is given by $$ G(t)=\operatorname{Pr}{\mathbf{x} \in \mathbf{A}: f(\mathbf{x}){f(\mathbf{x})j \in \mathbf{A}$. Denote by $\eta$ a random variable which has cumulative distribution function $G(t)$, and by $y{1, n} \leq \ldots \leq y_{n, n}$ the order statistics corresponding to the sample $\mathbf{Y}$. The parameter $\mathrm{m}=\min _{\mathbf{x} \in \mathbf{A}} f(\mathbf{x})$ is at the same time the lower endpoint of the random variable $\eta$, i.e., $\mathrm{m}=$ essinf $\eta$. That is, $\mathrm{m}$ is such that $G(\mathrm{~m})=0$ and $G(\mathrm{~m}+\varepsilon)>0$ for any $\varepsilon>0$.

For a very wide class of functions $f(\mathbf{x})$ and distributions $P$, the cumulative distribution function $G(\cdot)$ can be shown to have the following representation for $t \simeq \mathrm{m}:$
$$
G(t)=c(t-\mathrm{m})^\alpha+\mathrm{o}\left((t-\mathrm{m})^\alpha\right), t \downarrow \mathrm{m} .
$$

This representation is valid for some positive constants $c$ and $\alpha$; more generally, $c=c(t)$ is a slowly varying function for $t \simeq \mathrm{m}$ but the results cited below are also valid for this slightly more general case. The value of $c$ is irrelevant but the value of $\alpha$, which is called “tail index,” is important. We shall assume that the value of $\alpha$ is known. As discussed below this can always be considered true in the algorithms we consider.

Several good estimates of $m$ are known for given $\alpha$, see [239, Section 2.4]. We shall use one of them, the optimal linear estimator based on the use of $k$ order statistics. This estimator has the form
$$
\widehat{\mathrm{m}}{n, k}=c \sum{i=1}^k\left[u_i / \Gamma(i+2 / \alpha)\right] y_{i, n},
$$
where $\Gamma(\cdot)$ is the Gamma-function,
$$
u_i= \begin{cases}(\alpha+1), & \text { for } i=1, \ (\alpha-1) \Gamma(i), & \text { for } i=1, \ldots, k-1, \ (\alpha-\alpha k-1) \Gamma(k), & \text { for } i=k,\end{cases}
$$
$$
1 / c= \begin{cases}\sum_{i=1}^k 1 / i, & \text { for } \alpha=2 \ \frac{1}{\alpha-2}(\alpha \Gamma(k+1) / \Gamma(k+2 / \alpha)-2 / \Gamma(1+2 / \alpha)), & \text { for } \alpha \neq 2\end{cases}
$$

凸优化代写

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|多目标的概率边界

随机化是构建用于多目标优化的启发式方法的最重要的思想之一。用于非凸多目标优化的数 学证实的随机方法最近引起了研究人员的兴趣。一个自然的想法是将单目标优化方法推广到 多目标情况，而前瞻性候选方法是基于极值统计方法的成孰方法。 $4.4$ 节介绍了这种方法的 简要回顾，称为分支和概率界 (BPB) 方法。一些在单目标优化中广为人知的统计过程可以使 用标量化扩展到多目标问题。在本章中，描述和讨论了多目标 BPB 方法的一个版本；该方法 是在 [237] 中针对单目标函数的情况开发的 BPB 方法的扩展，另请参见 [239，第 $2.6 .1$ 节]。所考虑的扩展基于第 2 章中简要讨论的 Tchebycheff 标量化方法。
让我们回顾一下，通过 Tchebycheff 标量化一个多目标优化问题
$$
\min \mathbf{x} \in \mathbf{A f}(\mathbf{x}), \mathbf{f}(\mathbf{x})=\left(f_1(\mathbf{x}), f_2(x), \ldots, f_m(\mathbf{x})\right)^T, \mathbf{A} \subset \mathbb{R}^d,
$$
简化为单目标优化问题，其中目标函数使用以下公式定义:
$$
g(\mathbf{x}, \mathbf{w})=\max i=1, \ldots, m w_i\left(f_i(\mathbf{x})-u_i\right), \quad w_t \geq 0 \text { for } i=1, \ldots, m \text { and }
$$
和 $\mathbf{u}$ 是一个所佣的乌托邦向量
$$
u_i<\min f_i(\mathbf{x}) \text { for } i=1, \ldots, m .
$$
(8.2) 的最小化器是各个多目标优化问题的弱帕累托最优决策。类似地，通过由 $(2.5)$ 和 (2.6) 定义的 Tchebycheff 标量的修改版本，可以仅找到帕男托最优决策。
更准确地说，这可以表述如下[135]。让 $\mathbf{y} \in \mathbf{P}(\mathbf{f}) O$ 是任何帕累托最优目标向量，则它对应 于由改进的 Tchebycheff 标量化定义的目标函数 (2.5) 的最小值。目标函数 (2.5) 的参数应 满足以下要求: $\rho \geq 0$ 应该足够小，并且权重应该由以下公式定义: $w_i=$ $\beta /\left(y_i-u_i\right), i=1, \ldots, m$ ，在哪里u是一个乌托邦向量。另一方面，集
$\mathbf{P}(\mathbf{f}) O$ ，在哪里 $\mathbf{x w}$ 是对应于权重向量 $w$ 的标量化问题的最优决策。让戔们回想一下，当 使用原始 Tchebycheff 标量化（8.2) 时，除了帕累托最优解之外，还可以获得弱帕累托最 优解。

数学代写|凸优化作业代写Convex Optimization代考|关于函数最小值的统计推断

让 $f(\mathbf{x})$ 是在可行域上给定的函数 $\mathbf{A}$ 然后让 $\mathbf{x} 1, \ldots, \mathbf{x}_n$ ，是 $\mathrm{A}$ 中相同分布的点。请注意，在 本节中，考虑了对标量值函数的最小值的估计。此外，我们提供估计 $m=\min \mathbf{x} \in \mathrm{Af}(\mathbf{x}) ，$ 并展示如何构建置信区间 $\mathrm{m}$.
$\mathbf{x}_j(j=1, \ldots, n)$. 样本 $\mathbf{Y}$ 是独立的，其其础累积分布函数由 $\$ \$ \mathrm{G}(\mathrm{t})=$ loperatorname ${\mathrm{Pr}}$ ${\backslash \operatorname{mathbf}{\mathrm{x}} \backslash$ in \mathbf ${\mathrm{A}}$ 给出: $\mathrm{f}(\backslash$ mathbf ${\mathrm{X}}){\mathrm{f}(\backslash)$ mathbf ${\mathrm{X}}) \mathrm{\backslash}$ in \mathbf ${\mathrm{A}}$

• Denoteby和arandomvariablewhichhascumulativedistribution function $\mathrm{G}(\mathrm{t}), \operatorname{andby}{1, \mathrm{n}} \backslash \mathrm{eq} \backslash /$ dots $\backslash$ leq $\mathrm{y}{-}{\mathrm{n}, \mathrm{n}}$ theorderstatisticscorrespondingtothesample\mathbf ${\mathrm{Y}}$. Theparameter isatthesametimethelowerendpointo ftherandomvariable 和, i. e., $\backslash \mathrm{mathrm}{\mathrm{m}}=e s \sin f$ 和. Thatis, 数学 ${\mathrm{m}}$ issuchthat $\mathrm{G}(\backslash \mathrm{mathrm}{\sim \mathrm{m}})=0$ and $\mathrm{G}(\backslash$ mathrm${\sim \mathrm{m}}+$ Ivarepsilon $)>0$ foran $y \backslash$ 伐普西隆 $>0 \$$ 。 适用于非常广泛的功能 $f(\mathbf{x})$ 和分布 $P$ ，累积分布函数 $G(\cdot)$ 可以显示为具有以下表示 $t \simeq \mathrm{m}$ : $$ G(t)=c(t-\mathrm{m})^\alpha+\mathrm{o}\left((t-\mathrm{m})^\alpha\right), t \downarrow \mathrm{m} . $$ 这种表示对一些正常数有效 $c$ 和 $\alpha$; 电普遍， $c=c(t)$ 是一个缓慢变化的函数 $t \simeq \mathrm{m}$ 但下面引 用的结果也适用于这种稍微更一般的情况。的价值 $c$ 无关㘯要，但价值 $\alpha$ ，也就是所佣的“尾 指数”, 很重要。我们将假设 $\alpha$ 是已知的。正如下面所讨论的，这在我们考虑的算法中总是被 认为是正确的。 几个不错的估计 $m$ 众所周知 $\alpha$ ，见 [239，第 $2.4$ 节]。我们将使用其中之一，基于使用的最优 线性估计器 $k$ 订单统计。这个估计量的形式 $$ \widehat{\mathrm{m}} n, k=c \sum i=1^k\left[u_i / \Gamma(i+2 / \alpha)\right] y{i, n},
  $$
  在哪里 $\Gamma(\cdot)$ 是 Gamma 函数，
  $u_i={(\alpha+1), \quad$ for $i=1,(\alpha-1) \Gamma(i), \quad$ for $i=1, \ldots, k-1,(\alpha-\alpha k-1) \mathrm{I}$
  $1 / c=\left{\sum_{i=1}^k 1 / i, \quad\right.$ for $\alpha=2 \frac{1}{\alpha-2}(\alpha \Gamma(k+1) / \Gamma(k+2 / \alpha)-2 / \Gamma(1+2 / \alpha))$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。