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计算机代写|复杂网络代写complex network代考|Dimensionality Reduction with Minimal Squared Error

Suppose we are given a set of real valued measurements of some objects. As an example, for all boats in a marina, we measure length over all, width, height of the mast, the area of the sail, power of the engine, length of the waterline, and so forth. Let $N$ be the number of measurements, i.e., the number of boats in the marina, and let the measurements be vectors of dimension $d$, i.e., the number of things we have measured. We compile our measurements into a data matrix $\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N \times d}$, i.e., we write the individual measurement vectors as the rows of matrix $\mathbf{A}$. Let us further assume that we have already subtracted the mean across all measurements from each individual sample such that the columns of A sum to zero, i.e., we have centered our data.

Now we see that $\mathbf{A}^T \mathbf{A}$ is a $d \times d$ matrix describing the covariance of the individual dimensions in which we measured our data.

We now ask if we can drop some of the $d$ dimensions and still describe our data well. Naturally, we want to drop those dimensions in which our data do not vary much or we would like to replace two dimensions which are correlated by a single dimension. We can discard the unnecessary dimensions by projecting our data from the $d$-dimensional original space in a lower dimensional space of dimension $q<d$. Such a projection can be achieved by a matrix $\mathbf{V} \in \mathbb{R}^{d \times q}$. Taking measurement $\mathbf{a}{\mathbf{i}} \in \mathbb{R}^d$ from row $i$ of $\mathbf{A}$, we find the coordinates in the new space to be $\mathbf{b}{\mathbf{i}}=\mathbf{a}{\mathbf{i}} \mathbf{V}$ with $\mathbf{b}{\mathbf{i}} \in \mathbb{R}^q$. We can also use the transpose of $\mathbf{V}$ to project back into the original space of dimension $d$ via $\mathbf{a}{\mathbf{i}}^{\prime}=\mathbf{b}{\mathbf{i}} \mathbf{V}^T$. Since in the two projections we have visited a lower dimensional space, we find that generally the reconstructed data point does not coincide with the original datum $\mathbf{a}{\mathbf{i}} \mathbf{V} \mathbf{V}^T=\mathbf{a}{\mathbf{i}}^{\prime} \neq \mathbf{a}_{\mathbf{i}}$.

However, if we would have first started in the $q$-dimensional space with $\mathbf{b}{\mathbf{i}}$ and projected it into the $d$-dimensional space via $\mathbf{V}^T$ and then back again via $\mathbf{V}$ we require that our projection does not lose any information and hence $\mathbf{b}{\mathbf{i}} \mathbf{V}^T \mathbf{V}=\mathbf{b}_{\mathbf{i}}$. This means that we require $\mathbf{V}^T \mathbf{V}=\mathbb{1}$ or in other words we require that our projection matrix $\mathbf{V}$ be unitary.

The natural question is now how to find a unitary matrix such that it minimizes some kind of reconstruction error. Using the mean square error, we could write
$$
\begin{aligned}
E \propto \sum_i^N \sum_j^d\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}^{\prime}\right){i j}^2 & =\sum_i^N \sum_j^d\left(\mathbf{A}-\mathbf{A V} \mathbf{V}^{\mathbf{T}}\right){i j}^2 \
& =\operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A V} \mathbf{V}^T\right)^T\left(\mathbf{A}-\mathbf{A V} \mathbf{V}^T\right)
\end{aligned}
$$

计算机代写|复杂网络代写complex network代考|Squared Error for Multivariate Data and Networks

Let us consider in the following the reconstruction of the adjacency matrix of a network $\mathbf{A} \in{0,1}^{N \times N}$ of rank $r$ by another adjacency matrix $\mathbf{B} \in{0,1}^{N \times N}$ possibly of lower rank $q<r$ as before. For the squared error we have
$$
E=\sum_{i j}(\mathbf{A}-\mathbf{B})_{i j}^2 .
$$
Then, there are only four different cases we need to consider in Table 3.1. The squared error gives equal value to the mismatch on the edges and missing edges in A. We could say it weighs every error by its own magnitude. While this is a perfectly legitimate approach for multivariate data, it is, however, highly problematic for networks. The first reason is that many networks are sparse. The fraction of non-zero entries in A is generally very, very small compared to the fraction of zero entries. A low rank approximation under the squared error will retain this sparsity to the point that $\mathbf{B}$ may be completely zero. Furthermore, we have seen that real networks tend to have a very heterogeneous degree distribution, i.e., the distribution of zeros and ones per row and column in $\mathbf{A}$ is also very heterogeneous. Why give every entry the same weight in the error function? Most importantly, for multivariate data, all entries of $\mathbf{A}_{i j}$ are equally important measurements in principle. For networks this is not the case: the edges are in principle more important than the missing edges. There are fewer of them and they should hence be given more importance than missing edges. Taken all of these arguments together, we see that our first goal will have to be the derivation of an error function specifically tailored for networks that does not suffer from these deficiencies.

复杂网络代写

计算机代写|复杂网络代写complex network代考|Dimensionality Reduction with Minimal Squared Error

假设我们得到了一些物体的实数测量值。例如，对于码头上的所有船只，我们测量所有船只的长度、桅杆的宽度、高度、帆的面积、发动机的功率、吃水线的长度等等。设$N$为测量的次数，即码头上船只的数量，设测量的次数为维度$d$的向量，即我们测量的东西的数量。我们将测量值编译成数据矩阵$\mathbf{A} \in \mathbb{R}^{N \times d}$，即，我们将单个测量向量写成矩阵$\mathbf{A}$的行。让我们进一步假设我们已经减去了每个单独样本的所有测量值的平均值，使得A列之和为零，即我们已经将数据居中。

现在我们看到$\mathbf{A}^T \mathbf{A}$是一个$d \times d$矩阵，它描述了我们测量数据的各个维度的协方差。

现在我们要问的是，我们是否可以去掉一些$d$维度，仍然可以很好地描述我们的数据。当然，我们想要删除那些数据变化不大的维度，或者我们想要替换两个维度，这些维度是由一个维度相关的。我们可以通过将我们的数据从$d$维的原始空间投影到$q<d$维的较低维空间中来丢弃不必要的维数。这样的投影可以通过矩阵$\mathbf{V} \in \mathbb{R}^{d \times q}$来实现。从$\mathbf{A}$的$i$行测量$\mathbf{a}{\mathbf{i}} \in \mathbb{R}^d$，我们发现新空间中的坐标为$\mathbf{b}{\mathbf{i}}=\mathbf{a}{\mathbf{i}} \mathbf{V}$与$\mathbf{b}{\mathbf{i}} \in \mathbb{R}^q$。我们也可以使用$\mathbf{V}$的转置，通过$\mathbf{a}{\mathbf{i}}^{\prime}=\mathbf{b}{\mathbf{i}} \mathbf{V}^T$投影回原来的$d$维空间。由于在两个投影中，我们访问了一个较低维空间，我们发现重建的数据点通常与原始基准$\mathbf{a}{\mathbf{i}} \mathbf{V} \mathbf{V}^T=\mathbf{a}{\mathbf{i}}^{\prime} \neq \mathbf{a}_{\mathbf{i}}$不重合。

然而，如果我们首先使用$\mathbf{b}{\mathbf{i}}$从$q$维空间开始，并通过$\mathbf{V}^T$将其投影到$d$维空间，然后再通过$\mathbf{V}$返回，我们要求我们的投影不会丢失任何信息，因此是$\mathbf{b}{\mathbf{i}} \mathbf{V}^T \mathbf{V}=\mathbf{b}_{\mathbf{i}}$。这意味着我们要求$\mathbf{V}^T \mathbf{V}=\mathbb{1}$或者换句话说我们要求投影矩阵$\mathbf{V}$是酉的。

现在自然的问题是如何找到一个酉矩阵使得重构误差最小化。利用均方误差，我们可以写
$$
\begin{aligned}
E \propto \sum_i^N \sum_j^d\left(\mathbf{A}-\mathbf{A}^{\prime}\right){i j}^2 & =\sum_i^N \sum_j^d\left(\mathbf{A}-\mathbf{A V} \mathbf{V}^{\mathbf{T}}\right){i j}^2 \
& =\operatorname{Tr}\left(\mathbf{A}-\mathbf{A V} \mathbf{V}^T\right)^T\left(\mathbf{A}-\mathbf{A V} \mathbf{V}^T\right)
\end{aligned}
$$

计算机代写|复杂网络代写complex network代考|Squared Error for Multivariate Data and Networks

下面让我们考虑用另一个邻接矩阵$\mathbf{B} \in{0,1}^{N \times N}$重建一个秩为$r$的网络的邻接矩阵$\mathbf{A} \in{0,1}^{N \times N}$，这个邻接矩阵可能和前面一样秩为更低的$q<r$。对于我们得到的平方误差
$$
E=\sum_{i j}(\mathbf{A}-\mathbf{B})_{i j}^2 .
$$
那么，在表3.1中我们只需要考虑四种不同的情况。平方误差等于a中边的不匹配和缺边的值，我们可以说它按其大小对每个误差进行加权。虽然对于多变量数据来说，这是一种完全合理的方法，但是对于网络来说，这是非常有问题的。第一个原因是许多网络是稀疏的。A中非零元素的比例通常比零元素的比例非常非常小。在平方误差下的低秩近似将保持这种稀疏性，直到$\mathbf{B}$可能完全为零。此外，我们已经看到，真实网络往往具有非常异构的度分布，即$\mathbf{A}$中每行和每列的0和1的分布也非常异构。为什么在误差函数中给每个项相同的权重?最重要的是，对于多变量数据，$\mathbf{A}{i j}$的所有条目原则上都是同等重要的度量。对于网络来说，情况并非如此:原则上，边缘比缺失的边缘更重要。它们的数量更少，因此它们应该比缺失的边更重要。综合所有这些论点，我们看到我们的第一个目标必须是推导一个专门为不受这些缺陷影响的网络量身定制的误差函数。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。