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复分析是一个从复数到复数的函数。换句话说，它是一个以复数的一个子集为域，以复数为子域的函数。复数函数通常应该有一个包含复数平面的非空开放子集的域。

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Transferring Complex Functions to the Sphere

Stereographic projection enables us to transfer the action of any complex function to the Riemann sphere. Given a complex mapping $z \mapsto w=f(z)$ of $\mathbb{C}$ to itself, we obtain a corresponding mapping $\widehat{z} \mapsto \widehat{w}$ of $\Sigma$ to itself, where $\widehat{z}$ and $\widehat{w}$ are the stereographic images of $z$ and $w$. We shall say that $z \mapsto w$ induces the mapping $\widehat{z} \mapsto \widehat{w}$ of $\Sigma$

For example, consider what happens if we transfer $f(z)=\bar{z}$ to $\Sigma$. Clearly [exercise],
Complex conjugation in $\mathbb{C}$ induces a reflection of the Riemann sphere in the vertical plane passing through the real axis.
For our next example, consider $z \mapsto \widetilde{z}=(1 / \bar{z})$, which is inversion in the unit circle C. Figure [3.21b] shows a vertical cross section of $\Sigma$ taken through $\mathrm{N}$ and the point $z$ in $\mathbb{C}$. This figure also illustrates the very surprising result of transferring this inversion to $\Sigma$ :
Inversion of $\mathbb{C}$ in the unit circle induces a reflection of the Riemann sphere in its equatorial plane, $\mathbb{C}$.
Here is an elegant way of seeing this. First note that not only are the pair of points $z$ and $\tilde{z}$ symmetric (in the two-dimensional sense) with respect to $C$, but they are also symmetric (in the three-dimensional sense) with respect to the sphere $\Sigma$. Now apply the three-dimensional preservation of symmetry result (3.13). Since $z$ and $\widetilde{z}$ are symmetric with respect to $\Sigma$, their stereographic images $\widehat{z}=\mathcal{J}_K(z)$ and $\widehat{\widetilde{z}}=\mathcal{J}_K(\widetilde{z})$ will be symmetric with respect to $\mathcal{I}_K(\Sigma)$. But $\mathcal{J}_K(\Sigma)=\mathbb{C}$. Done! A more elementary (but less illuminating) derivation may be found in Ex. 6.

By combining the above results, we can now find the effect of complex inversion on the Riemann sphere. In $\mathbb{C}$, we know that $z \mapsto(1 / z)$ is equivalent to inversion in the unit circle, followed by complex conjugation. The induced mapping on $\Sigma$ is therefore the composition of two reflections in perpendicular planes through the real axis-one horizontal, the other vertical.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Behaviour of Functions at Infinity

Suppose two curves in $\mathbb{C}$ extend to arbitrarily large distances from the origin. Abstractly, one would say that they meet at the point at infinity. On $\Sigma$ this becomes a literal intersection at $\mathrm{N}$, and if each of the curves arrives at $\mathrm{N}$ in a well defined direction, then one can even assign an “intersection angle at $\infty$ “. For example, [3.20] illustrates that if two lines in $\mathbb{C}$ intersect at a finite point and contain an angle $\alpha$ there, then they intersect for a second time at $\infty$ and they contain an angle $-\alpha$ at that point.

Transferring a complex function to the Riemann sphere enables one to examine its behaviour “at infinity” exactly as one would at any other point. In particular, one can look to see if the function preserves the angle between any two curves passing through $\infty$. For example, the result (3.19) shows that complex inversion does preserve such angles at $\mathrm{N}$, and it is therefore said to be “conformal at infinity”. By the same token, this rotation of $\Sigma$ will also preserve the angle between two curves that pass through the singularity $z=0$ of $z \mapsto(1 / z)$, so complex inversion is conformal there too. In brief, complex inversion is conformal throughout the extended complex plane.

In this chapter we have found it convenient to depict $z \mapsto w$ as a mapping of $\mathbb{C}$ to itself, and in the above example we have likewise interpreted the induced mapping $\widehat{z} \mapsto \widehat{w}$ as sending points on the sphere to other points on the same sphere. However, it is often better to revert to the convention of the previous chapter, whereby the mapping sends points in the z-plane to image points residing in a second copy of $\mathbb{C}$, the $w$-plane. In the same spirit, the induced mapping $\widehat{z} \mapsto \widehat{w}$ may be viewed as mapping points in one sphere (the $z$-sphere) to points in a second sphere (the $w$-sphere). We illustrate this with an example.

Consider $z \mapsto w=z^n$, where $n$ is a positive integer. The top half of [3.22] illustrates the effect of the mapping (in the case $n=2$ ) on a grid of small “squares” abutting the unit circle and two rays containing an angle $\theta$. Very mysteriously, the images of these “squares” in the $w$-plane are again almost square. In the next chapter we will show that this is just one consequence of a more basic mystery, namely, that $z \mapsto w=z^n$ is conformal. Indeed, we will show that if a mapping is conformal, then any infinitesimal shape is mapped to a similar infinitesimal shape.

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Transferring Complex Functions to the Sphere

立体投影使我们能够将任何复杂函数的作用转移到黎曼 球面。给定一个复杂的映射 $z$ \mapsto $w=f(z)$ $z \mapsto w=f(z)$ 的 $C$ 对自身，我们得到对应的映射 $\hat{z} \mapsto \widehat{w}$ 的 $\Sigma$ 对自己，在哪里 $\hat{z}$ 和 $\widehat{w}$ 是立体图像 $z$ 和 $w$. 我 们会说 $z \mapsto w$ 诱导映射 $\hat{z} \mapsto \widehat{w}$ 的 $\Sigma$
例如，考虑如果我们转移会发生什么 $f(z)=\bar{z}$ 到 $\Sigma$. 清 楚地[练习]，
复杂的结合 $C$ 在通过实轴的垂直平面中引起黎曼球面的 反射。
对于我们的下一个例子，考虑 $z \mapsto \tilde{z}=(1 / \bar{z})$ ， 这是单 位圆 C 中的反演。图 [3.21b] 显示了垂直截面 $\Sigma$ 通过 $\mathrm{N}$ 和 重点 $z$ 在 C. 该图还说明了将此反演转换为非常令人惊讶 的结果 $\Sigma:$ Imathbb{C}
的反转 $\mathbb{C}$ 在单位圆中引起黎曼球面在其赤道平面上的反 射， $\mathbb{C}$.
这是一种优雅的方式来看待这一点。首先要注意的是， 不仅是一对点 $z$ 和 $\tilde{z}$ 对称（在二维意义上）关于 $C$ ，但它 们也相对于球体对称 (在二维意义上) $\Sigma$. 现在应用三维 对称性保持结果 (3.13)。自从 $z$ 和 $z$ 对称于 $\Sigma$, 他们的立体 图像 $\hat{z}=\mathcal{J}_K(z)$ 和 $\widehat{\tilde{z}}=\mathcal{J}_K(\tilde{z})$ 将关于对称 $\mathcal{I}_K(\Sigma)$. 但 $\mathcal{J}_K(\Sigma)=\mathbb{C}$. 完毕! Ex. 中可以找到一个更基本（但缺 之启发性) 的推导。6.
结合以上结果，我们现在可以发现复数反演对黎曼球面 的影响。在 $\mathbb{C}$ ，我们知道 $z \mapsto(1 / z)$ 相当于单位圆中的 反演，然后是复共轭。ISigma上的诱导映射 $\Sigma$ 因此是通 过实轴的垂直平面中的两个反射的合成―—一个水平 的，另一个垂直的。

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Behaviour of Functions at Infinity

假设两条曲线在C从原点延伸到任意大的距离。抽象地说，人们会说它们在无穷远点相遇。在小号这变成了字面上的交叉点否, 如果每条曲线都到达否在一个定义明确的方向上，那么人们甚至可以指定一个“交叉角在∞“。例如，[3.20] 说明如果两行C相交于有限点并包含一个角A在那里，然后他们第二次相交于∞它们包含一个角度−A在那时候。

将一个复杂的函数转移到黎曼球面，使人们能够像在任何其他点一样检查它在“无穷远处”的行为。特别是，可以查看该函数是否保留了通过的任意两条曲线之间的角度∞. 例如，结果 (3.19) 表明复数反演确实保留了这样的角度否，因此它被称为“在无穷远处共形”。出于同样的原因，这种旋转小号还将保留通过奇点的两条曲线之间的角度和=0的和↦(1/和)，所以复数反演在那里也是共形的。简而言之，复数反演在整个扩展复平面上是共形的。

在本章中，我们发现描述起来很方便和↦在作为映射C对自身，在上面的例子中我们同样解释了诱导映射和^↦在^作为将球体上的点发送到同一球体上的其他点。然而，通常最好恢复到上一章的约定，即映射将 z 平面中的点发送到驻留在第二个副本中的图像点C， 这在-飞机。本着同样的精神，诱导映射和^↦在^可以被视为一个球体中的映射点（和-球体）到第二个球体中的点（在-领域）。我们用一个例子来说明这一点。

考虑和↦在=和n， 在哪里n是一个正整数。[3.22] 的上半部分说明了映射的效果（在这种情况下n=2) 在邻接单位圆的小“正方形”网格上，两条射线包含一个角度我. 非常神秘的是，这些“方块”在在-平面又几乎是方形的。在下一章中，我们将证明这只是一个更基本的谜团的一个结果，即和↦在=和n是共形的。实际上，我们将证明，如果映射是共形的，则任何无穷小形状都映射到相似的无穷小形状。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。