数学代写|复分析作业代写Complex function代考|MTH328

2022年12月26日

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Clifford Algebra

A real Clifford algebra, $\mathcal{C} l_m$, can be generated from $\mathbb{R}^m$ by considering the relationship
$$x^2=-|x|^2$$
for each $x \in \mathbb{R}^m$. We have $\mathbb{R}^m \subseteq \mathcal{C} l_m$. If $\left{e_1, \ldots, e_m\right}$ is an orthonormal basis for $\mathbb{R}^m$, then $x^2=-|x|^2$ tells us that
$$e_i e_j+e_j e_i=-2 \delta_{i j},$$
where $\delta_{i j}$ is the Kronecker delta function. An arbitrary element of the basis of the Clifford algebra can be written as $e_A=e_{j_1} \cdots e_{j_r}$, where $A=\left{j_1, \cdots, j_r\right} \subset$ ${1,2, \cdots, m}$ and $1 \leq j_1<j_2<\cdots<j_r \leq m$. Hence for any element $a \in \mathcal{C} l_m$, we have $a=\sum_A a_A e_A$, where $a_A \in \mathbb{R}$. Similarly, the complex Clifford algebra $\mathcal{C} l_m(\mathbb{C})$ is defined as the complexification of the real Clifford algebra
$$\mathcal{C} l_m(\mathbb{C})=\mathcal{C} l_m \otimes \mathbb{C}$$

We consider real Clifford algebra $\mathrm{Cl}_m$ throughout this subsection, but in the rest of the paper we consider the complex Clifford algebra $\mathcal{C} l_m(\mathbb{C})$ unless otherwise specified.

The Pin and Spin groups play an important role in Clifford analysis. The Pin group can be defined as
$$\operatorname{Pin}(m)=\left{a \in \mathcal{C} l_m: a=y_1 y_2 \ldots y_p, y_1, \ldots, y_p \in \mathbb{S}^{m-1}, p \in \mathbb{N}\right},$$
where $\mathbb{S}^{m-1}$ is the unit sphere in $\mathbb{R}^m$. Pin $(m)$ is clearly a group under multiplication in $\mathcal{C l} l_m$.

Now suppose that $a \in \mathbb{S}^{m-1} \subseteq \mathbb{R}^m$, if we consider $a x a$, we may decompose $x=$ $x_{a |}+x_{a \perp}$, where $x_{a |}$ is the projection of $x$ onto $a$ and $x_{a \perp}$ is the rest, perpendicular to $a$. Hence $x_{a |}$ is a scalar multiple of $a$ and we have $a x a=a x_{a |} a+a x_{a \perp} a=$ $-x_{a |}+x_{a \perp}$. So the action axa describes a reflection of $x$ in the direction of $a$. By the Cartan-Dieudonné theorem each $O \in O(\mathrm{~m})$ is the composition of a finite number of reflections. If $a=y_1 \cdots y_p \in \operatorname{Pin}(m)$, we define $\tilde{a}:=y_p \cdots y_1$ and observe that $a x \tilde{a}=O_a(x)$ for some $O_a \in O(m)$. Choosing $y_1, \ldots, y_p$ arbitrarily in $\mathbb{S}^{m-1}$, we see that the group homomorphism
$$\theta: \operatorname{Pin}(m) \longrightarrow O(m): a \mapsto O_a,$$
with $a=y_1 \cdots y_p$ and $O_a x=a x \tilde{a}$ is surjective.

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Irreducible Representations of the Spin Group

The following three representation spaces of the Spin group are frequently used as the target spaces in Clifford analysis. The spinor representation is the most commonly used spin representation in classical Clifford analysis and the other two polynomial representations are often used in higher spin theory.

Consider the complex Clifford algebra $\mathcal{C l}_m(\mathbb{C})$ with even dimension $m=2 n$. Then $\mathbb{C}^m$ or the space of vectors is embedded in $\mathcal{C} l_m(\mathbb{C})$ as $$\left(x_1, x_2, \cdots, x_m\right) \mapsto \sum_{j=1}^m x_j e_j: \mathbb{C}^m \hookrightarrow \mathcal{C} l_m(\mathbb{C})$$
Define the Witt basis elements of $\mathbb{C}^{2 n}$ as
$$f_j:=\frac{e_j-i e_{j+n}}{2}, f_j^{\dagger}:=-\frac{e_j+i e_{j+n}}{2} .$$
Let $I:=f_1 f_1^{\dagger} \ldots f_n f_n^{\dagger}$. The space of Dirac spinors is defined as
$$\mathcal{S}:=\mathcal{C} l_m(\mathbb{C}) I .$$
This is a representation of $\operatorname{Spin}(\mathrm{m})$ under the following action:
$$\rho(s) I:=s I, \text { for } s \in \operatorname{Spin}(m) .$$
Note that $\mathcal{S}$ is a left ideal of $\mathcal{C l} l_m(\mathbb{C})$. For more details, we refer the reader to [8]. An alternative construction of spinor spaces is given in the classical paper of Atiyah, Bott, and Shapiro [2].

复分析代写

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Clifford Algebra

Pin 和 Spin 群在 Clifford 分析中扮演着重要的角色。 Pin组可以定义为
loperatorname ${$ Pin $}(m)=\backslash$ left ${a$ lin $\backslash m a t h c a|{C}| \leq m: a=$

Dieudonné 定理每个 $O \in O(\mathrm{~m})$ 是有限数量反射的组 合。如果 $a=y_1 \cdots y_p \in \operatorname{Pin}(m)$ ，我们定义
$\tilde{a}:=y_p \cdots y_1$ 并观察到 $a x \tilde{a}=O_a(x)$ 对于一些
$O_a \in O(m)$. 选择 $y_1, \ldots, y_p$ 任意地 $\mathbb{S}^{m-1}$, 我们看到 群同态
$$\theta: \operatorname{Pin}(m) \longrightarrow O(m): a \mapsto O_a,$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Irreducible Representations of the Spin Group

Spin 群的以下三个表示空间经常被用作 Clifford 分析中 的目标空间。旋量表示是经典克利福德分析中最常用的 自旋表示，另外两种多项式表示常用于高等自旋理论。

$$\left(x_1, x_2, \cdots, x_m\right) \mapsto \sum_{j=1}^m x_j e_j: \mathbb{C}^m \hookrightarrow \mathcal{C} l_m(\mathbb{C})$$

$$f_j:=\frac{e_j-i e_{j+n}}{2}, f_j^{\dagger}:=-\frac{e_j+i e_{j+n}}{2} .$$

$$\mathcal{S}:=\mathcal{C} l_m(\mathbb{C}) I .$$

$$\rho(s) I:=s I \text {, for } s \in \operatorname{Spin}(m) .$$

有限元方法代写

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MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。