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复分析Complex analysis一个函数的 “极点”（或孤立的奇点）是指该函数的值变得无界，或 “爆炸 “的一个点。如果一个函数有这样一个极点，那么人们可以在那里计算函数的残差，这可以用来计算涉及该函数的路径积分；这就是强大的残差定理的内容。皮卡德定理描述了全形函数在基本奇点附近的显著行为。只有极点而没有基本奇点的函数被称为经态函数。劳伦特级数是与泰勒级数相当的复值级数，但可以通过更容易理解的函数（如多项式）的无限和来研究奇点附近的函数行为

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数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Further Properties of Lengths

Recall from Definition 2.27 that paths can be added together if their start and end points match up correctly. Using approximating polygons, it is easy to prove that the length function $L$ is additive:
PROPOSITION 6.16. If $\gamma=\gamma_1+\cdots+\gamma_n$ and $L\left(\gamma_r\right)$ exists for $1 \leq r \leq n$, then
$$
L(\gamma)=L\left(\gamma_1\right)+\cdots+L\left(\gamma_n\right)
$$
It is important to understand that the length of a path need not be the same as the length of its image curve. In particular, this happens whenever the path ‘doubles back on itself’, as in the following example.

Next, we consider how a change of parameter affects the length of a smooth path.
DEFINITION 6.18. Smooth paths $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}, \lambda:[c, d] \rightarrow \mathbb{C}$ with the same image curve $C$ are smoothly equivalent parametrisations of $C$ if there is a smooth function $\rho:[a, b] \rightarrow[c, d]$ with non-zero derivative $\rho^{\prime}(t) \neq 0$ for $t \in[a, b]$, where $\rho(a)=c$, $\rho(b)=d$, and $\gamma=\lambda \circ \rho$.

This relationship is an equivalence relation, because $\rho^{-1}$ exists, is smooth, and also has non-zero derivative, by the inverse function theorem. A smoothly equivalent parametrisation can be imagined as tracing the same curve in the same direction but at different speeds.

PROPOSITION 6.19. If two smooth paths $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}, \lambda:[c, d] \rightarrow \mathbb{C}$ are smoothly equivalent parametrisations of the same curve $C$, then they have the same length: $L(\gamma)=L(\lambda)$.

Proof. We have $\gamma=\lambda \circ \rho$ where $\rho:[a, b] \rightarrow[c, d]$ is a strictly increasing real function with continuous derivative $\rho^{\prime}$ on $[a, b]$. Therefore $\rho^{\prime}(t) \geq 0$, so $\rho^{\prime}(t)=\left|\rho^{\prime}(t)\right|$. Let $s=\rho(t)$. Then as $t$ increases from $a$ to $b, s$ increases from $c$ to $d$ and we can substitute $\mathrm{d} s=\rho^{\prime}(t) \mathrm{d} t$ in the integral. The length of the path $\gamma$ is therefore
$$
\begin{aligned}
L(\gamma) & =\int_a^b\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \
& =\int_a^b\left|(\lambda \circ \rho)^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \
& =\int_a^b \mid\left(\lambda^{\prime}(\rho(t))|| \rho^{\prime}(t) \mid \mathrm{d} t\right. \
& =\int_a^b \mid\left(\lambda^{\prime}(\rho(t)) \mid \rho^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right. \
& =\int_a^b\left|\lambda^{\prime}(s)\right| \mathrm{d} s=L(\lambda)
\end{aligned}
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Lengths of More General Paths

You may be wondering why we require $\gamma$ to be smooth in the definition of length in Definition 6.15? Proposition 6.16 applies to contours made from several smooth pieces, which need not fit together smoothly where they join, so paths that are not smooth can have meaningful lengths. Obviously, Definition 6.15 cannot be used for continuous paths, because it involves the derivative of $\gamma$. But the definition ‘supremum of lengths of all approximating polygons’, which occurs in the alternative treatment of Section 6.3, makes sense for any path, without assuming smoothness. However, this definition has its own awkward features. Sometimes it goes wrong in the mild sense that the entire path has infinite length, as in Examples 6.9 and 6.10. However, it gets much worse. Using the ‘approximating polygon’ definition for length, there are continuous paths $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$ with the disturbing property that the length of any segment of the path, between points $c<d$ in $[a, b]$, is infinite.

In fact, we have already met just such a path: the graph of the blancmange function, Figure 4.3. Using dyadic rationals, it is straightforward to construct a sequence of partitions of $[c, d]$ such that the corresponding polygons have lengths tending to infinity. In fact, it is enough to do this for the graph of the blancmange function on the interval $[0,1]$, because we have already pointed out that this graph contains arbitrarily small copies of the graph of the blancmange function, and a small number times infinity is still infinity. These copies are usually distorted by an affine transformation, but such a distortion keeps the length infinite. Similar remarks apply to space-filling curves, and to standard fractals such as the snowflake curve, Mandelbrot [13], and Falconer [4].

In other words, a path that is continuous but not smooth may not have a meaningful length. This is probably counterintuitive, because we have been trained from an early age to assume that every linear object does have a length. The ancient Greeks worried about the length of the circumference of a circle without ever defining what they were worrying about. It seemed obvious to them that any arc of a circle must have a length; their main aim was to find out what that length is. To do so, they tacitly assumed several plausible properties, such as finding the length by using polygons to approximate the circumference. Eventually mathematicians tightened up the logic, leading to Definition 6.8 above, and understood what can go wrong.

To complete the story, smoothness is not actually necessary for a path or curve to have a well-defined length. There is a more general notion of a rectifiable curve, for which the ‘approximating polygon’ definition is entirely satisfactory. However, the smooth case is all we need in this book.

复分析代写

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回想一下定义2.27，如果路径的起点和终点正确匹配，则路径可以加在一起。使用近似多边形，很容易证明长度函数$L$是可加性的:
提案6.16如果$1 \leq r \leq n$存在$\gamma=\gamma_1+\cdots+\gamma_n$和$L\left(\gamma_r\right)$，则
$$
L(\gamma)=L\left(\gamma_1\right)+\cdots+L\left(\gamma_n\right)
$$
重要的是要明白，路径的长度不一定与其图像曲线的长度相同。特别是，当路径“双倍返回自身”时，就会发生这种情况，如下面的例子所示。

接下来，我们考虑参数的变化如何影响光滑路径的长度。
6.18.定义平滑的路径 $\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}, \lambda:[c, d] \rightarrow \mathbb{C}$ 用相同的图像曲线 $C$ 平滑等价的参数化是 $C$ 如果有一个平滑函数 $\rho:[a, b] \rightarrow[c, d]$ 非零导数 $\rho^{\prime}(t) \neq 0$ 为了 $t \in[a, b]$，其中 $\rho(a)=c$， $\rho(b)=d$，和 $\gamma=\lambda \circ \rho$．

这个关系是一个等价关系，因为$\rho^{-1}$是存在的，是光滑的，并且根据反函数定理也有非零导数。一个光滑的等效参数化可以想象为在相同的方向上以不同的速度跟踪相同的曲线。

提案6.19。如果两条光滑路径$\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}, \lambda:[c, d] \rightarrow \mathbb{C}$是同一条曲线$C$的光滑等效参数化，则它们具有相同的长度:$L(\gamma)=L(\lambda)$。

证明。我们有$\gamma=\lambda \circ \rho$其中$\rho:[a, b] \rightarrow[c, d]$是一个严格递增的实函数在$[a, b]$上有连续导数$\rho^{\prime}$。所以$\rho^{\prime}(t) \geq 0$，所以$\rho^{\prime}(t)=\left|\rho^{\prime}(t)\right|$。让$s=\rho(t)$。当$t$从$a$增加到$b, s$从$c$增加到$d$我们可以把$\mathrm{d} s=\rho^{\prime}(t) \mathrm{d} t$代入积分中。因此，路径$\gamma$的长度为
$$
\begin{aligned}
L(\gamma) & =\int_a^b\left|\gamma^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \
& =\int_a^b\left|(\lambda \circ \rho)^{\prime}(t)\right| \mathrm{d} t \
& =\int_a^b \mid\left(\lambda^{\prime}(\rho(t))|| \rho^{\prime}(t) \mid \mathrm{d} t\right. \
& =\int_a^b \mid\left(\lambda^{\prime}(\rho(t)) \mid \rho^{\prime}(t) \mathrm{d} t\right. \
& =\int_a^b\left|\lambda^{\prime}(s)\right| \mathrm{d} s=L(\lambda)
\end{aligned}
$$

数学代写|复分析作业代写Complex function代考|Lengths of More General Paths

您可能想知道为什么我们要求$\gamma$在定义6.15中的长度定义中是平滑的?命题6.16适用于由几个光滑的部分组成的轮廓，它们不需要在它们连接的地方平滑地结合在一起，所以不光滑的路径可以有有意义的长度。显然，定义6.15不能用于连续路径，因为它涉及$\gamma$的导数。但是，在第6.3节的另一种处理中出现的“所有近似多边形的长度的最优值”的定义对任何路径都有意义，而不假设平滑。然而，这个定义也有其尴尬之处。有时会出现轻微的错误，因为整个路径有无限长的长度，如例6.9和6.10所示。然而，情况变得更糟。使用长度的“近似多边形”定义，存在连续路径$\gamma:[a, b] \rightarrow \mathbb{C}$，其干扰性质是，在$[a, b]$中点$c<d$之间的任何路径段的长度都是无限的。

事实上，我们已经遇到了这样一条路径:blancmange函数图，图4.3。使用并矢有理，可以很容易地构造一个$[c, d]$的分区序列，使得相应的多边形的长度趋于无穷大。事实上，对于区间$[0,1]$上的blancmange函数的图，这样做就足够了，因为我们已经指出，这个图包含任意小的blancmange函数的图的副本，小数乘以无穷大仍然是无穷大。这些拷贝通常被仿射变换扭曲，但这种扭曲使长度保持无限大。类似的备注也适用于空间填充曲线，以及雪花曲线、Mandelbrot[13]和Falconer[4]等标准分形。

换句话说，连续但不光滑的路径可能没有有意义的长度。这可能是违反直觉的，因为我们从小就被训练成假设每个线性物体都有长度。古希腊人担心一个圆的周长，但他们从来没有定义过他们在担心什么。在他们看来，任何圆弧都是有长度的;他们的主要目的是找出这个长度是多少。为了做到这一点，他们默认了几个貌似合理的性质，比如用多边形近似周长来求长度。最终，数学家们收紧了逻辑，得出了上面的定义6.8，并明白了哪里可能出错。

在完整的故事中，路径或曲线要有明确的长度并不需要平滑度。有一种更一般的可校正曲线的概念，对于它，“近似多边形”的定义是完全令人满意的。然而，在这本书中，我们所需要的就是平滑的情况。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

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多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。