## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2141

2023年3月31日

statistics-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写交换代数commutative algebra方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写交换代数commutative algebra代写方面经验极为丰富，各种代写交换代数commutative algebra相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础
couryes™为您提供可以保分的包课服务

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Finitely Generated Flat Modules

In the finitely generated module case, flatness is a more elementary property.
2.1 Lemma Consider a finitely generated $\mathbf{A}$-module $M$, and let $X \in M^{n \times 1}$ be a column vector whose coordinates $x_i$ generate $M$. The module $M$ is flat if and only if for every syzygy $L X=0$ (where $\left.L \in \mathbf{A}^{1 \times n}\right)$, we can find two matrices $G, H \in \mathbb{M}_n(\mathbf{A})$ which satisfy the equalities $H+G=I_n, \quad L G=0$ and $H X=0$.
In particular, a cyclic module $M=\mathbf{A} y$ is flat if and only if
$$\forall a \in \mathbf{A},(a y=0 \Longrightarrow \exists s \in \mathbf{A}, \text { as }=0 \text { and } s y=y) \text {. }$$
Remark The symmetry between $L$ and $X$ in the statement is only apparent; the module $M$ is generated by the coordinates of $X$, while the ring $\mathbf{A}$ is not generated (as a submodule) by the coordinates of $L$.

D We reduce an arbitrary syzygy $L^{\prime} X^{\prime}=0$ to a syzygy $L X=0$ by expressing $X^{\prime}$ in terms of $X$. A priori we should write $X$ in the form $G_1 Y$ with $L G_1=0$.
As $Y=G_2 X$, we take $G=G_1 G_2$ and $H=\mathrm{I}_n-G$.
Remark For cyclic modules, by letting $t=1-s$, we obtain conditions on $t$ rather than on $s$
$$a=a t \text { and } t y=0,$$
which implies that the annihilator $\mathfrak{a}$ of $y$ satisfies $\mathfrak{a}^2=\mathfrak{a}$. In fact, by Theorem 1.16, $\mathbf{A} / \mathfrak{a}$ is flat over $\mathbf{A}$ if and only if for every finitely generated ideal $b$ we have the equality $\mathfrak{a} \cap \mathfrak{b}=\mathfrak{a} b$.
Here is a generalization of Lemma 2.1 in the same style of Proposition 1.2.

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Flat Principal Ideals

A ring $\mathbf{A}$ is said to be without zerodivisors if we have:
$$\forall a, b \in \mathbf{A} \quad(a b=0 \Rightarrow(a=0 \text { or } b=0))$$
An integral ring (in particular a discrete field) is without zerodivisors. A discrete ring without zerodivisors is integral. A nontrivial ring is integral if and only if it is discrete and without zerodivisors.

1. A principal ideal, or more generally a cyclic $\mathbf{A}$-module $\mathbf{A} a$, is a flat module if and only if
$$\forall x \in \mathbf{A} \quad(x a=0 \Rightarrow \exists z \in \mathbf{A}(z a=0 \text { and } x z=x)) .$$
2. If $\mathbf{A}$ is local, an $\mathbf{A}$-module $\mathbf{A} a$ is flat if and only if
$$\forall x \in \mathbf{A} \quad(x a=0 \Rightarrow(x=0 \text { or } a=0)) .$$
3. Let $\mathbf{A}$ be a local ring, if $\mathbf{A}$ is discrete, or if we have a test to answer the question “is $x$ regular?,” then, an ideal $\langle a\rangle$ is flat if and only if a is null or regular.
4. For a local ring $\mathbf{A}$ the following properties are equivalent.
a. Every principal ideal is flat.
b. The ring is without zerodivisors.
D Lemma 2.1 gives item 1. The computation for item 2 results from it, because $z$ or $1-z$ is invertible. The rest is clear.
We similarly have the following equivalences.

# 交换代数代考

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Finitely Generated Flat Modules

2.1 引理考虑一个有限生成的 $\mathbf{A}$-模块 $M$ ，然后让 $X \in M^{n \times 1}$ 是一个列向量，其坐标 $x_i$ 产生 $M$. 模组 $M$ 是平坦的当且仅当对于每个 syzygy $L X=0$ (在哪里 $\left.L \in \mathbf{A}^{1 \times n}\right)$ ，我们可以找到两个矩阵 $G, H \in \mathbb{M}_n(\mathbf{A})$ 满足等式 $H+G=I_n, \quad L G=0$ 和 $H X=0$.

$\forall a \in \mathbf{A},(a y=0 \Longrightarrow \exists s \in \mathbf{A}$, as $=0$ and $s y=y)$.

$\mathrm{D}$ 我们减少任意 syzygy $L^{\prime} X^{\prime}=0$ 一个 syzygy $L X=0$ 通过表达 $X^{\prime}$ 按昭 $X$. 我们应该先写 $X$ 在形式 $G_1 Y$ 和 $L G_1=0$.

$$a=a t \text { and } t y=0$$

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Flat Principal Ideals

$$\forall a, b \in \mathbf{A} \quad(a b=0 \Rightarrow(a=0 \text { or } b=0))$$

1. 一个主要理想，或者更一般地说，一个循环 $\mathbf{A}$-模 块 $\mathbf{A} a ，$ 是一个平面模块当且仅当
$$\forall x \in \mathbf{A} \quad(x a=0 \Rightarrow \exists z \in \mathbf{A}(z a=0 \text { and } x z=x))$$
2. 如果 $\mathbf{A}$ 是本地的，一个 $\mathbf{A}$-模块 $\mathbf{A} a$ 是平坦的当且 仅当
$$\forall x \in \mathbf{A} \quad(x a=0 \Rightarrow(x=0 \text { or } a=0)) .$$
3. 让 $\mathbf{A}$ 是本地环，如果 $\mathbf{A}$ 是离散的，或者如果我们 有一个测试来回答问题“是 $x$ 定期? “，那么，一个 理想 $\langle a\rangle$ 当且仅当 $\mathrm{a}$ 为 null 或正则时，它是平坦 的。
4. 对于本地环 $\mathbf{A}$ 以下属性是等效的。
A。每个主要理想都是平坦的。
b. 环没有零因子。
D引理 2.1 给出第 1 项。第 2 项的计算由此产 生，因为 $z$ 或者 $1-z$ 是可逆的。其余的很清楚。 我们同样有以下等价物。

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。