## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MTH2121

2023年3月31日

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## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Definition and Basic Properties

We give an elementary definition and later develop the relationship with the exactness of the functor $M \otimes \bullet$.
1.1 Definition Consider an A-module $M$.

1. A syzygy in $M$ is given by $L \in \mathbf{A}^{1 \times n}$ and $X \in M^{n \times 1}$ which satisfy $L X=0$.
2. We say that the syzygy $L X=0$ is explained in $M$ if we find $Y \in M^{m \times 1}$ and a matrix $G \in \mathbf{A}^{n \times m}$ that satisfy
$$L G=0 \text { and } G Y=X$$
1. The A-module $M$ is called a flat module if every syzygy in $M$ is explained in $M$. (Intuitively speaking: if there is a syzygy between elements of $M$, the module is not to blame.)
Remarks
1) In items 1 and 2 the symbol 0 is specified implicitly by the context. In 1 it is $0_M$, whereas in 2 it is $0_{A^{m \times 1}}$.
2) In item 2, when we say that the syzygy $L X=0$ is explained in $M$, we mean that the explanation “does not touch $L$. .” However, the equalities given by the matrix equation $L G=0$ take place in $\mathbf{A}$ and not in $M$.

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local-Global Principle

Flatness is a local notion in the following sense.
1.7 Concrete local-global principle (For flat modules) Let $S_1, \ldots, S_r$ be comaximal monoids of a ring $\mathbf{A}$, and let $M$ be an $\mathbf{A}-m o d u l e$.

1. A syzygy $L X=0$ in $M$ is explained in $M$ if and only if it is explained in each of the $M_{S_i}$ ‘s.
2. The module $M$ is flat over $\mathbf{A}$ if and only if each of the $M_{S_i}$ ‘s is flat over $\mathbf{A}{S_i}$. D It suffices to prove the first item. The “only if” is given by Fact 1.6. Let us prove the other implication. Let $L X=0$ be a syzygy between elements of $M$ (where $L \in \mathbf{A}^{1 \times n}$ and $X \in M^{n \times 1}$ ). We want to find $m \in \mathbb{N}, Y \in M^{m \times 1}$ and a matrix $G \in \mathbf{A}^{n \times m}$ which satisfy Eq. (1). We have a solution $\left(m_i, Y_i, G_i\right)$ for (1) in each localized ring $\mathbf{A}{S_i}$.

We can write $Y_i=Z_i / s_i, G_i=H_i / s_i$ with $Z_i \in M^{m_i \times 1}, H_i \in \mathbf{A}^{n \times m_i}$ and some $s_i \in S_i$ that are suitable. We then have $u_i H_i Z_i=v_i X$ in $M$ and $u_i L H_i=0$ in $\mathbf{A}$ for some $u_i$ and $v_i \in S_i$. We write $\sum_{i=1}^r b_i v_i=1$ in $\mathbf{A}$. For $G$ we take the matrix obtained by juxtaposing the matrices $b_i u_i H_i$ in a row, and for $Y$ we take the vector obtained by superposing the vectors $Z_i$ in a column. We obtain $G Y=\sum_{i=1}^r b_i v_i X=X$ in $M$, and $L G=0$ in $\mathbf{A}$.
The corresponding principle in classical mathematics is the following.
1.8 Abstract local-global principle* (For flat modules)

1. A syzygy $L X=0$ in $M$ is explained in $M$ if and only if it is explained in $M_{\mathrm{m}}$ for every maximal ideal $\mathrm{m}$.
2. An A-module $M$ is flat if and only if for every maximal ideal $\mathrm{m}$, the module $M_{\mathrm{m}}$ is flat over $\mathbf{A}_{\mathrm{m}}$.

D It suffices to show the first item. However, the fact that a syzygy $L X=0$ can be explained is a finite character property (Definition II-2.9). We therefore apply

# 交换代数代考

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Definition and Basic Properties

1.1 定义考虑一个A-模块$M$。

1. $M$ 中的 syzygy 由 $L \in \mathbf{A}^{1 \times n}$ 和 $X \in M^{n \times 1}$ 给出，满足 $LX=0$。
2. 如果我们找到 $Y \in M^{m \times 1}$ 和矩阵 $G \in \mathbf{A}^{n \times m }$ 满足
$$LG=0 \text { 和 } GY=X$$
3. 如果 $M$ 中的每个 syzygy 都在 $M$ 中解释，则 A 模块 $M$ 称为平面模块。（直觉上来说：如果 $M$ 的元素之间有一个符号，模块就不会受到指责。）
备注
1）在第 1 项和第 2 项中，符号 0 由上下文隐式指定。在 1 中它是 $0_M$，而在 2 中它是 $0_{A^{m \times 1}}$。
2) 在第 2 项中，当我们说 syzygy $LX=0$ is explained in $M$ 时，我们的意思是解释“不涉及 $L$。” 但是，矩阵方程 $LG=0$ 给出的等式出现在 $\mathbf{A}$ 而不是 $M$ 中。

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Local-Global Principle

1.7 具体的局部-全局原则（对于平面模块）设 $S_1, \ldots, S_r$ 是环 $\mathbf{A}$ 的余极大幺半群，设 $M$ 是 $\mathbf{A}-module$ .

1. 当且仅当它在每个 $M_{S_i}$ 中都有解释时，$M$ 中的 syzygy $LX=0$ 才会在 $M$ 中得到解释。
2. 模块 $M$ 在 $\mathbf{A}$ 上是平坦的当且仅当每个 $M_{S_i}$ 在 $\mathbf{A}{S_i}$ 上平坦。D 足以证明第一项。事实 1.6 给出了“仅当”。让我们证明另一个含义。设 $LX=0$ 是 $M$ 元素之间的合集（其中 $L \in \mathbf{A}^{1 \times n}$ 和 $X \in M^{n \times 1}$ ）。我们想找到 $m \in \mathbb{N}, Y \in M^{m \times 1}$ 和矩阵 $G \in \mathbf{A}^{n \times m}$ 满足方程。(1). 我们在每个局部环 $\mathbf{A}{S_i}$ 中对 (1) 有一个解决方案 $\left(m_i, Y_i, G_i\right)$。

1.8 抽象局部-全局原则*（对于扁平模块）

1. $M$ 中的 syzygy $LX=0$ 在 $M$ 中得到解释当且仅当它在 $M_{\mathrm{m}}$ 中对每个最大理想 $\mathrm{m}$ 得到解释。
2. A 模 $M$ 是平坦的当且仅当对于每个最大理想 $\mathrm{m}$，模 $M_{\mathrm{m}}$ 在 $\mathbf{A}_{\mathrm 上是平坦的{m}}$。

D 显示第一项就足够了。但是，可以解释 syzygy $LX=0$ 的事实是有限字符属性（定义 II-2.9）。因此我们申请

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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