## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH4312

2022年9月26日

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## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Weights, Homogeneous Polynomials

We say that we have defined a weight on a polynomial algebra $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_k\right]$ when we attribute to each indeterminate $X_i$ a weight $w\left(X_i\right) \in \mathbb{N}$. We then define the weight of the monomial $X^{m}=X_1^{m_1} \cdots X_k^{m_k}$ as
$$w(X m)=\sum_i m_i w\left(X_i\right),$$
so that $w\left(X^{m}+m^{\prime}\right)=w\left(X^{m}\right)+w\left(X^{m^{\prime}}\right)$. The degree of a polynomial $P$ for this weight, generally denoted by $w(P)$, is the greatest of the weights of the monomials appearing with a nonzero coefficient. This is only well-defined if we have a test of equality to 0 in $\mathbf{A}$ at our disposal. In the opposite case we simply define the statement ” $w(P) \leqslant r . “$

A polynomial is said to be homogeneous (for a weight $w$ ) if all of its monomials have the same weight.

When we have an algebraic identity and a weight available, each homogeneous component of the algebraic identity provides a particular algebraic identity.

We can also define weights with values in some monoids with a more complicated order than $(\mathbb{N}, 0,+, \geqslant)$. We then ask that this monoid be the positive part of a product of totally ordered Abelian groups, or more generally a monoid with gcd (this notion will be introduced in Chap. XI).

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Symmetric Polynomials

We fix $n$ and $\mathbf{A}$ and we let $S_1, \ldots, S_n$ be the elementary symmetric polynomials at the $X_i$ ‘s in $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$. They are defined by the equality
$$T^n+S_1 T^{n-1}+S_2 T^{n-2}+\cdots+S_n=\prod_{i=1}^n\left(T+X_i\right) .$$
We have $S_1=\sum_i X_i, S_n=\prod_i X_i, S_k=\sum_{J \in \mathcal{P}{k, n}} \prod{i \in J} X_i$. Recall the following well-known theorem (a proof is suggested in Exercise 3).
1.5 Theorem (Elementary symmetric polynomials)

1. A polynomial $Q \in \mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]=\mathbf{A}[X]$, invariant under permutations of the variables, is uniquely expressible as a polynomial in the elementary symmetric functions $S_1, \ldots, S_n$. In other words
• the subring of the fixed points of $\mathbf{A}[X]$ by the action of the symmetric group $\mathrm{S}_n$ is the ring $\mathbf{A}\left[S_1, \ldots, S_n\right]$ generated by $\mathbf{A}$ and the $S_i$ ‘s, and
• the $S_i$ ‘s are algebraically independent over $\mathbf{A}$.
1. Let us denote by $d(P)$ the total degree of $P \in \mathbf{A}[X]$ when each $X_i$ is affected by the weight 1 , and $d_1(P)$ its degree in $X_1$. Let $\delta(Q)$ be the total degree of $Q \in \mathbf{A}\left[S_1, \ldots, S_n\right]$ when each variable $S_i$ is affected by the weight $i$ and $\delta_1(Q)$ its total degree when each variable $S_i$ is affected by the weight 1. Assume that $Q\left(S_1, \ldots, S_n\right)$ is evaluated in $P(X)$.
a. $d(P)=\delta(Q)$, and if $Q$ is $\delta$-homogeneous, then $P$ is $d$-homogeneous.
b. $d_1(P)=\delta_1(Q)$.
2. $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ is a free module of rank $n$ ! over $\mathbf{A}\left[S_1, \ldots, S_n\right]$ and a basis is formed by the monomials $X_1^{k_1} \cdots X_{n-1}^{k_{n-1}}$ such that $k_i \in \llbracket 0 . . n-i \rrbracket$ for each $i$.
1.6 Corollary On a ring A consider the generic polynomial
$$f=T^n+f_1 T^{n-1}+f_2 T^{n-2}+\cdots+f_n,$$
where the $f_i$ ‘s are the indeterminates. We have an injective homomorphism $j$ : $\mathbf{A}\left[f_1, \ldots, f_n\right] \rightarrow \mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ such that the $(-1)^k j\left(s_k\right)^{\prime} s$ are the elementary symmetric polynomials in the $X_i$ ‘s.

In short we can always reduce to the case where $f(T)=\prod_i\left(T-X_i\right)$, where the $X_i$ ‘s are other indeterminates.

# 交换代数代考

## 数学代写|交换代数代写交换代数代考|权重，齐次多项式

$$w(X m)=\sum_i m_i w\left(X_i\right),$$
，这样$w\left(X^{m}+m^{\prime}\right)=w\left(X^{m}\right)+w\left(X^{m^{\prime}}\right)$。这个权重的多项式$P$的次，通常用$w(P)$表示，是出现非零系数的多项式的权重中最大的。只有当我们在$\mathbf{A}$中有一个等于0的测试时，这才是定义良好的。在相反的情况下，我们简单地定义语句“$w(P) \leqslant r . “$

## 数学代写|交换代数代写交换代数代考|对称多项式

$$T^n+S_1 T^{n-1}+S_2 T^{n-2}+\cdots+S_n=\prod_{i=1}^n\left(T+X_i\right) .$$

1.5定理(初等对称多项式)

• 对称群作用下$\mathbf{A}[X]$不动点的子带$\mathrm{S}_n$是由$\mathbf{A}$和$S_i$’s生成的环$\mathbf{A}\left[S_1, \ldots, S_n\right]$，
• $S_i$’s在$\mathbf{A}$上是代数独立的
1. 让我们用 $d(P)$ 的总度 $P \in \mathbf{A}[X]$ 当每一个 $X_i$ 受权重1的影响，和 $d_1(P)$ 它的程度 $X_1$。让 $\delta(Q)$ 的总度 $Q \in \mathbf{A}\left[S_1, \ldots, S_n\right]$ 当每个变量 $S_i$ 受重量的影响吗 $i$ 和 $\delta_1(Q)$ 它的总度当每个变量 $S_i$ 受权重的影响1。假设 $Q\left(S_1, \ldots, S_n\right)$ 在 $P(X)$
a。 $d(P)=\delta(Q)$，如果 $Q$ 是 $\delta$-齐次，那么 $P$ 是 $d$-齐次的。
b。 $d_1(P)=\delta_1(Q)$.
2. $\mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ 是一个免费模块的排名 $n$ !结束 $\mathbf{A}\left[S_1, \ldots, S_n\right]$ 一组基是由一元项组成的 $X_1^{k_1} \cdots X_{n-1}^{k_{n-1}}$ 如此这般 $k_i \in \llbracket 0 . . n-i \rrbracket$ 对于每一个 $i$在环a上考虑泛型多项式
$$f=T^n+f_1 T^{n-1}+f_2 T^{n-2}+\cdots+f_n,$$
where the $f_i$ 的是不定式。我们有一个内射同态 $j$ : $\mathbf{A}\left[f_1, \ldots, f_n\right] \rightarrow \mathbf{A}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$ 这样一来 $(-1)^k j\left(s_k\right)^{\prime} s$ 是初等对称多项式吗 $X_i$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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