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交换代数本质上是对代数数论和代数几何中出现的环的研究。在代数数论中，代数整数的环是Dedekind环，因此它构成了一类重要的换元环。

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Bibliographic Comments

The reader will certainly find our will to give to the trivial ring every property under the sun a little arbitrary, especially through our use of a weakened version of negation (cf. footnote 1 p. 478). We hope to convince them of the practical use of such a convention by way of the examples. On the proper use of the trivial ring, see [157, Richman].

The “proof by Azumaya” of the local freeness Lemma 2.2 is extracted from the proof of the Azumaya theorem III.6.2 in [MRR], in the case that concerns us here. In other words, we have given the “matrix” content of the proof of the local freeness lemma in [MRR].

Monomial curves (example on p. 498) are treated in [Kunz], Chap. V, Example 3.13.f.

Decomposed rings play an important role in the classical theory of Henselian local rings for example in the works [Raynaud] or [Lafon \& Marot].

A local-global ring is sometimes called a “ring with many units” in the literature. Local-global rings have been particularly studied in [78, Estes \& Guralnick]. Other “rings with many units” have appeared long beforehand, under the terminology “unit-irreducible rings” (see for example [112]). Those are the rings A for which the following property is satisfied: if two polynomials of $\mathbf{A}[X]$ represent an inverse, then their product also represents an inverse. Also introduced were the “primitive” or “strongly U-irreducible” rings which are the rings for which the following property is satisfied: every primitive polynomial represents an inverse. They are special localglobal rings. In the proof of Fact 6.7 we have shown that a Nagata ring is always “primitive.”

Concerning the Nagata ring $\mathbf{A}(X)$, given Fact 6.7 and the good properties of localglobal rings, it is not surprising that this ring plays a crucial role for the uniform solution of systems of linear equations with parameters over a discrete field and more generally for the uniform computations “in a reasonable amount of time” over arbitrary commutative rings (see [56, 57, Díaz-Toca et al.]).

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Complements on Exterior Powers of a Finitely Generated

The following lemma is immediate.
1.1 Lemma Let $P$ be a free $\mathbf{A}$-module of rank $h$ and $\varphi \in \operatorname{End}(P)$ be a diagonalizable endomorphism, with a matrix similar to $\operatorname{Diag}\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_h\right)$, then for the fundamental polynomial of $\varphi$ we get
$$
\mathrm{F}{\varphi}(X) \stackrel{\text { def }}{=} \operatorname{det}\left(\operatorname{Id}{P[X]}+X \varphi\right)=\left(1+\lambda_1 X\right) \cdots\left(1+\lambda_h X\right) .
$$
We now establish the crucial result.
1.2 Proposition (Exterior powers) Let $P$ be a finitely generated projective module.

1. The $k^{\text {th }}$ exterior power of $P$, denoted by $\wedge^k P$, is also a finitely generated projective module. If $P=\operatorname{Im}(F)$ for $F \in \mathbb{A} \mathbb{G}(\mathbf{A})$, the module $\wedge^k P$ is (isomorphic to) the image of the projection matrix $\wedge^k F$.
2. If $\varphi$ is an endomorphism of $P$, the fundamental polynomial $\mathrm{F}{\wedge^k \varphi}(X)$ only depends on $k$ and on the polynomial $\mathrm{F}{\varphi}(X)$. In particular, the rank polynomial of $\Lambda^k P$ only depends on $k$ and on the rank polynomial of $P$.
3. a. If $P$ is of constant rank $h<k$, the module $\bigwedge^k P$ is null.
   b. If $P$ is of constant rank $h \geqslant k$, the module $\bigwedge^k P$ is of constant rank $\left(\begin{array}{l}h \ k\end{array}\right)$.
   c. In this case, if $\varphi$ is an endomorphism whose fundamental polynomial is $\mathrm{F}{\varphi}=\left(1+\lambda_1 X\right) \cdots\left(1+\lambda_h X\right)$, we have $$ \mathrm{F}{\wedge^k \varphi}(X)=\prod_{1 \leqslant i_1<\cdots<i_k \leqslant h}\left(1+\lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_k} X\right) .
   $$
4. If a projection matrix $F$ has as its image a projective module of constant rank $k$, then $\mathcal{D}_{k+1}(F)=0$.

D 1. Let $M$ and $N$ be two A-modules and consider the first exterior powers of their direct sum $M \oplus N$. By examining the universal problem that the $k^{\text {th }}$ exterior power of a module solves, we obtain the canonical isomorphisms
$$
\begin{aligned}
& \bigwedge^2(M \oplus N) \simeq \Lambda^2 M \oplus(M \otimes N) \oplus \Lambda^2 N \
& \Lambda^3(M \oplus N) \simeq \Lambda^3 M \oplus\left(\left(\Lambda^2 M\right) \otimes N\right) \oplus\left(M \otimes\left(\Lambda^2 N\right)\right) \oplus \Lambda^3 N,
\end{aligned}
$$ and more generally
$$
\bigwedge^m(M \oplus N) \simeq \bigoplus_{k=0}^m\left(\left(\bigwedge^k M\right) \otimes\left(\bigwedge^{m-k} N\right)\right)
$$
(with $\bigwedge^0 M=\mathbf{A}$ and $\bigwedge^1 M=M$ ). In particular, if $P \oplus Q \simeq \mathbf{A}^m, \bigwedge^k P$ is a direct matrix $F, \Lambda^k P$ is (isomorphic to) the image of the projection matrix $\wedge^k F$, because this matrix represents the identity over $\Lambda^k P$ and 0 over all the other summands of the direct sum.

交换代数代考

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读者肯定会发现我们赋予微不足道的环在阳光下的每一个属性的意愿有点武断，特别是通过我们使用弱化版本的否定（参见脚注 1 p. 478）。我们希望通过示例使他们相信这种约定的实际应用。关于 trivial ring 的正确使用，参见 [157, Richman]。

局部自由引理 2.2 的“Azumaya 证明”是从 [MRR] 中的 Azumaya 定理 III.6.2 的证明中提取的，在我们这里涉及的情况下。也就是说，我们已经给出了[MRR]中局部自由引理证明的“矩阵”内容。

单项式曲线（第 498 页的示例）在 [Kunz] 的第 1 章中进行了处理。V，示例 3.13.f。

分解环在 Henselian 局部环的经典理论中扮演着重要的角色，例如在作品 [Raynaud] 或 [Lafon \& Marot] 中。

局部-全局环在文献中有时被称为“具有许多单元的环”。在 [78, Estes \& Guralnick] 中特别研究了局部-全局环。其他“具有许多单元的环”早就出现在术语“单元不可约环”下（参见示例 [112]）。这些是满足以下属性的环 A：如果两个多项式A[X]代表一个逆，那么他们的乘积也代表一个逆。还引入了“原始”或“强 U 不可约”环，它们是满足以下属性的环：每个原始多项式表示一个逆。它们是特殊的局部全局环。在事实 6.7 的证明中，我们已经证明 Nagata 环总是“原始的”。

关于永田戒指A(X)，考虑到事实 6.7 和局部全局环的良好特性，毫不奇怪，这个环对于离散域上具有参数的线性方程组的均匀解以及更普遍的均匀计算“以合理的数量”起着至关重要的作用时间”在任意交换环上（参见 [56, 57, Díaz-Toca 等人]）。

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以下引理是直接的。
1.1 引理 设 $\$ P \$$ 是秩为 $\$ h \$$ 的自由 \$\mathbf ${A} \$$-模， \$lvarphi \in loperatorname{End}(P)\$ 是可对角化的自 同态，其矩阵类似于 $\$ 1$
operatorname{Diag} $}$ eft(lambda_1, \dots,
Vambda_h right)\$，然后对于 \$ivarphi\$ 的基本多项 式，我们得到 $P$ 成为一个自由的 $\backslash m a t h b f{A} \mathbf{A}$-排名模块 $h$ 和 $\varphi \in \operatorname{End}(P)$ 是可对角化的自同态，其矩阵类似于 $\operatorname{Diag}\left(\lambda_1, \ldots, \lambda_h\right)$, 然后对于基本多项式 $\varphi$ 我们得到
$$
\mathrm{F} \varphi(X) \stackrel{\text { def }}{=} \operatorname{det}(\operatorname{Id} P[X]+X \varphi)=\left(1+\lambda_1 X\right)
$$
$P$ 是一个有限生成的投影模块。

1. $\$ P \$$ 的 $\$ k^{\wedge}{1$ text ${$ th $}} \$$ 外幂，记为 \$lwedge $\wedge k$ $P \$ ，$ 也是一个有限生成的射影模。如果 $\$ P=$ loperatorname ${\operatorname{Im}}(F)$ \$ 对于 $\$ F \backslash i n$ $\backslash$ Imathbb ${A} \backslash$ mathbb ${G}(\backslash \operatorname{mathbf}{\mathrm{A}})$ \$，模块 \$lwedge $\wedge k$ P \$ 是 (同构于) 投影矩阵 \$lwedge^k F\$ 的图像。 $k^{\text {th }} P \wedge^k P P=\operatorname{Im}(F)$ $F \in \mathbb{A} \mathbb{G}(\mathbf{A}) \wedge^k P \wedge^k F$
2. 如果 \$lvarphi\$ 是 \$P\$ 的自同态，则基本多项式 \$Imathrm{F}{lwedge^k Ivarphi}(X)\$ 仅取决于 \$k\$ 和多项式 \$\mathrm{F} {lvarphi}(X)\$。特别 地，\$Lambda^k P \$ 的秩多项式仅取决于 \$k 和 \$P\$ 的秩多项式。 $\varphi P \mathrm{~F} \wedge^k \varphi(X) k \mathrm{~F} \varphi(X) \Lambda^k P$ $k P$3. A。如果 $\$ P \$$ 的秩为 $\$ h<k \$$ ，则模 $\$ \backslash b i g w e d g e^{\wedge} k$ $P \$$ 为空。 $P h<k \bigwedge^k P$
   b. 如果 $\$ P \$$ 的秩为 \$h lgeqslant $k \$$ ，则模块 \$\bigwedge^ $\mathrm{k} P \$$ 的秩为 $\$ \backslash$ left( $\backslash$ begin ${$ array $}$ ${\mid} h \backslash k \backslash$ kend array}\ight $) \$ \circ P h \geqslant k \bigwedge^k P$ $(h k)$
   C。在这种情况下，如果 \$lvarphi\$ 是一个自同 态，其基本多项式是 \$\mathrm ${\mathrm{F}}$ ${$ lvarphi $}=\backslash$ left(1+Vlambda_1 XIright $)$ Icdots Veft(1+\lambda_h XIright )\$, 我们有 \$\$ Imathrm{F}{lwedge^k Ivarphi $}(X)=$ Iprod_ ${1$ Veqslant i_1<lcdots<i_k \eqslant h}\left(1+\lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_k} XIright) $\Leftarrow \mathrm{F} \varphi=\left(1+\lambda_1 X\right) \cdots\left(1+\lambda_h X\right)$ $\mathrm{F} \wedge^k \varphi(X)=\prod_{1 \leqslant i_1<\cdots<i_k \leqslant h}\left(1+\lambda_{i_1} \cdots \lambda_{i_k} X\right)$.
3. 如果投影矩阵 $\$ F \$$ 的图像是常秩 $\$ \mathrm{k}$ 的投影模， 则 $\$ \backslash$ mathcal ${D} _{k+1}(F)=0 \$ 。 F k$ $\mathcal{D}{k+1}(F)=0$$\mathrm{D} 1$ 1.让 $M$ 和 $N$ 是两个 A 模并考虑它们的直和的第一个外 部幂 $M \oplus N$. 通过检查普遍存在的问题 $k^{\text {th }}$ 求解一个模 块的外幂，我们得到规范同构 $$ \bigwedge^2(M \oplus N) \simeq \Lambda^2 M \oplus(M \otimes N) \oplus \Lambda^2 N $$ 更一般地说 $$ \bigwedge^m(M \oplus N) \simeq \bigoplus{k=0}^m\left(\left(\bigwedge^k M\right) \otimes\left(\bigwedge^{m-k} N\right)\right)
   $$
   (和 $\wedge^0 M=\mathbf{A}$ 和 $\bigwedge^1 M=M$ ). 特别是，如果 $P \oplus Q \simeq \mathbf{A}^m, \Lambda^k P$ 是直接矩阵 $F, \Lambda^k P$ 是 (同构) 投影矩阵的图像 $\wedge^k F$ ，因为这个矩阵代表身份 $\Lambda^k P$ 和 0 在直和的所有其他被加数上。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。