# 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|MATH2322

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|When the Triangular Structure Is Missing

Consider some elements $\alpha_1, \ldots, \alpha_{\ell}$ of $\mathbf{B}$ and the nested $\mathbf{K}$-algebras
$$\mathbf{K} \subseteq \mathbf{K}1=\mathbf{K}\left[\alpha_1\right] \subseteq \mathbf{K}_2=\mathbf{K}\left[\alpha_1, \alpha_2\right] \subseteq \cdots \subseteq \mathbf{K}{\ell}=\mathbf{K}\left[\alpha_1, \ldots, \alpha_{\ell}\right] \subseteq \mathbf{B} .$$
For $i=2, \ldots, \ell$ the structure of $\mathbf{K}i$ as a $\mathbf{K}{i-1}$-module can be made explicit by different techniques. If $\mathbf{B}$ is a splitting field for $f$, all the $\mathbf{K}_i$ ‘s are fields and each of the modules is free.

If one of these modules is not free, then we can construct an idempotent $\neq 0,1$ in $\mathbf{B}$ by using the same technique as for the proof of the structure Theorem VI-1.4, item $2 b$.

Using the Gröbner basis technique can turn out to be efficient, with the ideal that defines $\mathbf{B}$ as a quotient of $\mathbf{K}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$. We introduce some variable names $a_i$ for the $\alpha_i$ ‘s and we choose a lexicographical order with $a_1<\cdots<a_{\ell}<X_1<\cdots<$ $X_n$.

If $\mathbf{B}$ is a field the Gröbner basis must have a triangular structure. To each $\alpha_i$ must correspond one and only one polynomial in the Gröbner basis, $P_i\left(a_1, \ldots, a_i\right)$ monic in $a_i$.

If this triangular structure is not respected for the variable $a_i$, we are certain that $\mathbf{K}_{i-1}$ is not a field, and we can explicitly construct a nonzero zerodivisor in this $\mathbf{K}$-algebra.

Actually, let $P\left(a_1, \ldots, a_i\right)$ be a polynomial that appears in the Gröbner basis and that is not monic in $a_i$. Its leading coefficient as a polynomial in $a_i$ is a polynomial $Q\left(a_1, \ldots, a_{i-1}\right)$ which necessarily gives a nonzero zerodivisor $Q\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1}\right)$ in the zero-dimensional algebra $\mathbf{K}{i-1} \simeq \mathbf{K}\left[a_1, \ldots, a{i-1}\right] / \mathfrak{a}$, where $\mathfrak{a}$ is the ideal generated by the first polynomials, in the variables $a_1, \ldots, a_{i-1}$, that appear in the Gröbner basis. Otherwise, we could multiply $P$ by the inverse of $Q$ modulo $\mathfrak{a}$, and reduce the result modulo $a$, and we would obtain a monic polynomial in $a_i$ that precedes $P$ in the lexicographical ordering, and that would render the presence of $P$ pointless.

The versions that we have given of the Nullstellensatz “without algebraic closure” can be found in a related form in [MRR, VIII.2.4, VIII.3.3].

The intrinsic difficulty of the problem of the isomorphism of two algebraic closures of a field is illustrated in [162, Sander, Theorem 26], which shows that, in the presence of LEM but in the absence of the axiom of dependent choice, it is impossible to prove in $\mathrm{ZF}$ that two algebraic closures of $\mathbb{Q}$ are isomorphic.

The treatment of Galois theory based on Galois quotients of the universal splitting algebra dates back to Jules Drach $[61,1898]$ and to Ernest Vessiot $[187,1904]$. Here is an extract of the introduction of the latter article, which speaks in the language of the time about Galois quotients of the universal splitting algebra:

“Étant donnée une equation algébrique, que l’on considère comme remplacée par le système $(S)$ des relations entre les racines $x_1, \ldots, x_n$ et les coefficients, on étudie d’abord le problème fondamental suivant: Quel parti peut-on tirer de la connaissance de certaines relations $(A)$ entre $x_1, \ldots, x_n$, en n’employant que des opérations rationnelles? Nous montrons que l’on peut déduire du système $(S, A)$ un système analogue, dont le système $(S, A)$ admet toutes les solutions, et qui est, comme nous le disons, automorphe: ce qui veut dire que ses diverses solutions se déduisent de l’une quelconque d’entre elles par les substitutions d’un groupe $G$, qui est dit le groupe associé au système, ou simplement le groupe du système. On remarquera que $S$ est déjà un système automorphe, ayant le groupe général pour groupe associé. Dès lors, si l’on se place du point de vue de Galois, … on voit que l’on peut se limiter à ne considérer que des systèmes $(S, A)$ rationnels and automorphes.”5

The universal splitting algebra is dealt with in considerable detail in Chap. 2 of the book [Pohst \& Zassenhaus, 1989].

Among the good modern works that present all of classical Galois theory, we cite [Tignol] and $[\mathrm{Cox}]$.

The “dynamic Galois theory” presented in detail in this chapter is presented in [55, Díaz-Toca] and $[59,60$, Díaz-Toca et al.].

# 交换代数代考

## 数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|When the Triangular Structure Is Missing

$$\mathbf{K} \subseteq \mathbf{K} 1=\mathbf{K}\left[\alpha_1\right] \subseteq \mathbf{K}2=\mathbf{K}\left[\alpha_1, \alpha_2\right] \subseteq \cdots \subseteq \mathbf{K} \ell$$ 为了 $i=2, \ldots, \ell$ 的结构 $\mathbf{K} i$ 作为一个 $\mathbf{K} i-1$-module 可以通过不同的技术显式化。如果 $\mathrm{B}$ 是一个分裂场 $f$ ， $一$ 一切 $\mathbf{K}_i$ 是字段，每个模块都是免费的。 如果其中一个模块不是免费的，那么我们可以构造一个 幂等的 $\neq 0,1$ 在 $\mathbf{B}$ 通过使用与证明结构定理 VI-1.4 相同 的技术，项目 $2 b$. 使用 Gröbner 基础技术可以证明是有效的，理想情况下 定义 $\mathbf{B}$ 作为商 $\mathbf{K}\left[X_1, \ldots, X_n\right]$. 我们引入一些变量名 $a_i$ 为了 $\alpha_i$ 的，我们选择一个字典顺序 $a_1<\cdots{\ell}<X_1<\cdots<X_n$.

$Q\left(\alpha_1, \ldots, \alpha_{i-1}\right)$ 在零维代数中
$\mathbf{K} i-1 \simeq \mathbf{K}\left[a_1, \ldots, a i-1\right] / \mathfrak{a}$ ，在哪里 $\mathfrak{a}$ 是由变 量中的第一个多项式生成的理想 $a_1, \ldots, a_{i-1}$, 出现在 Gröbner 基础上。否则，我们可以成倍增加 $P$ 通过的倒 数 $Q$ 模块 $a$ ，并减少结果模 $a$ ，我们将获得一个一元多项 式 $a_i$ 先于 $P$ 在词典顺序中，这将呈现 $P$ 无意义。

[162, Sander, Theorem 26] 说明了一个域的两个代数闭包同构问题的内在困难，它表明，在存在 LEM 但没有依赖选择公理的情况下，它是无法证明和F的两个代数闭包问是同构的。

“给定一个代数方程，我们认为它被系统取代(小号)根之间的关系X1,…,Xn和系数，我们首先研究以下基本问题：我们可以从某些关系的知识中得到什么好处(A)在两者之间X1,…,Xn，只使用理性操作？我们表明我们可以从系统中推断出(小号,A)一个类似的系统，其系统(小号,A)承认所有的解决方案，正如我们所说的那样，它是自守的：这意味着它的各种解决方案都是通过群的替换从其中任何一个推导出来的G，据说是与系统关联的组，或简称为系统组。人们会注意到小号已经是一个自守系统，具有一般群作为关联群。因此，如果我们从伽罗华的角度出发，……我们会发现我们可以将自己限制在只考虑系统(小号,A)理性和自守。”5

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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