数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Invertible minor lemma

Doug I. Jones

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数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Invertible minor lemma

Invertible minor lemma (Generalized pivot) If a matrix $G \in \mathbf{A}^{q \times m}$ has an invertible minor of order $k \leqslant \min (m, q)$, it is equivalent to a matrix
$$\left[\begin{array}{cc} \mathrm{I}k & 0{k, m-k} \ 0_{q-k, k} & G_1 \end{array}\right],$$
where $\mathcal{D}r\left(G_1\right)=\mathcal{D}{k+r}(G)$ for all $r \in \mathbb{Z}$.
D By eventually permuting the rows and the columns we bring the invertible minor to the top left. Next, by right-multiplying (or left-multiplying) by an invertible matrix, we reduce to the form
$$G^{\prime}=\left[\begin{array}{ll} \mathrm{I}k & A \ B & C \end{array}\right]$$ then by elementary row and column operations, we obtain $$G^{\prime \prime}=\left[\begin{array}{cc} \mathrm{I}_k & 0{k, m-k} \ 0_{q-k, k} & G_1 \end{array}\right] .$$
Finally, $\mathcal{D}r\left(G_1\right)=\mathcal{D}{k+r}\left(G^{\prime \prime}\right)=\mathcal{D}_{k+r}(G)$ for all $r \in \mathbb{Z}$.
As an immediate consequence we obtain the freeness lemma.

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Freeness lemma

Freeness lemma Consider a matrix $G \in \mathbf{A}^{q \times m}$ of rank $\leqslant k$ with $1 \leqslant k \leqslant$ $\min (m, q)$. If the matrix $G$ has an invertible minor of order $k$, then it is equivalent to the matrix
$$\mathrm{I}{k, q, m}=\left[\begin{array}{cc} \mathrm{I}_k & 0{k, m-k} \ 0_{q-k, k} & 0_{q-k, m-k} \end{array}\right] .$$
In this case, the image, the kernel and the cokernel of $G$ are free, respectively of ranks $k, m-k$ and $q-k$. Moreover the image and the kernel have free summands.
If $i_1, \ldots, i_k$ (resp. $j_1, \ldots, j_k$ ) are the indexes of rows (resp. of columns) of the invertible minor, then the columns $j_1, \ldots, j_k$ form a basis of the module $\operatorname{Im} G$, and Ker $G$ is the module of vectors annihilated by the linear forms corresponding to the rows $i_1, \ldots, i_k$.

D With the notations of the previous lemma we have $\mathcal{D}1\left(G_1\right)=\mathcal{D}{k+1}(G)=0$, so $G_1=0$. The rest is left to the reader.

The matrix $\mathrm{I}{k, q, m}$ is called a standard simple matrix. We denote the matrix $\mathrm{I}{k, n, n}$ by $\mathrm{I}_{k, n}$ and we call it a standard projection matrix.

Definition A linear map between free modules of finite rank is said to be simple if it can be represented by a matrix $\mathrm{I}{k, q, m}$ over suitable bases. Similarly a matrix is said to be simple when it is equivalent to a matrix $\mathrm{I}{k, q, m}$.

交换代数代考

数学代写|交换代数代写commutative algebra代考|Invertible minor lemma

$$\left[\begin{array}{cc} \mathrm{I}k & 0{k, m-k} \ 0_{q-k, k} & G_1 \end{array}\right],$$

$$G^{\prime}=\left[\begin{array}{ll} \mathrm{I}k & A \ B & C \end{array}\right]$$然后通过基本的行和列运算，我们得到$$G^{\prime \prime}=\left[\begin{array}{cc} \mathrm{I}k & 0{k, m-k} \ 0{q-k, k} & G_1 \end{array}\right] .$$

有限元方法代写

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MATLAB代写

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