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组合学是数学的一个领域，主要涉及计数（作为获得结果的手段和目的）以及有限结构的某些属性。

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The sum and product of the zeros of B

We know from the last section that we can write
$$
B_n(x)=\left(x-t_1^{(n)}\right)\left(x-t_2^{(n)}\right) \cdots\left(x-t_n^{(n)}\right)
$$
where $t_i^{(n)}$ are the zeros of the Bell polynomials $(i=1, \ldots, n)$, and that these numbers are negative, except one zero which is $x=0$. We choose this to be $t_1^{(n)}$, that is, $t_1^{(n)}=0$

By Viète’s ${ }^3$ formulas we can have a bit more knowledge about these zeros. One of these formulas says that if we have a polynomial
$$
p(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0,
$$
such that the zeros are $x_1, \ldots, x_n$ (these can be real or complex), that is,
$$
p(x)=a_n\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) \cdots\left(x-x_n\right),
$$
then the sum of these zeros is
$$
x_1+x_2+\cdots+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n} .
$$
Another formula evaluates the product of the zeros:
$$
x_1 x_2 \cdots x_n=(-1)^n \frac{a_0}{a_n}
$$
These can easily be seen by comparing the coefficients of $x^{n-1}$ and $x^0$ on the right-hand sides of (3.5) and (3.6), respectively ${ }^4$.

These formulas result in the following sum and product formulas with respect to the zeros of the Bell polynomials:
$$
t_1^{(n)}+t_2^{(n)}+\cdots+t_n^{(n)}=-\frac{\left{\begin{array}{c}
n \
n-1
\end{array}\right}}{\left{\begin{array}{l}
n \
n
\end{array}\right}}=-\left(\begin{array}{l}
n \
2
\end{array}\right)=-\frac{n(n-1)}{2} \quad(n \geq 1),
$$
and (taking $B_n(x) / x$ instead)
$$
t_2^{(n)} \cdots t_n^{(n)}=-\frac{\left{\begin{array}{l}
n \
1
\end{array}\right}}{\left{\begin{array}{l}
n \
n
\end{array}\right}}=-1 \quad(n \geq 2) .
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The irreducibility of Bn(x)

Whether the Bell polynomials ever have rational zeros $(n \geq 3)$ other than the trivial $t_1^{(n)}=0$ is unknown. If a non-constant polynomial has no rational zeros, we say that it is irreducible over the rationals.

In 1983 J. W. Layman and C. L. Prather [360] gave five different statements equivalent to the irreducibility of the Bell polynomials $B_n(x) / x$. One of these is the non-vanishing property of the Bell polynomials at $x=-1$. This is actually easy to see once we recall the rational root theorem [574, p. 109].
The rational root theorem says that if a polynomial
$$
p(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0
$$
has a rational zero $x^$, i.e., it is of the form $x^=\frac{a}{b}$ (where $a$ and $b$ have no divisors in common), then $a$ must divide $a_0$, and $b$ must divide $a_n$.

Since the constant coefficient and the highest order coefficient in $B_n(x) / x$ are both one, the only possible rational zeros are \pm 1 . Of course, $B_n(x)>0$ if $x>0$, so the only possible rational root is minus one. Thus, we arrive at the following statement: $B_n(x) / x$ is irreducible over the rationals if and only if $B_n(-1) \neq 0$. Since $B_2(x)=1+x$, we have that $B_2(-1)=0$, but this seems to be the only one case. In [360] this was checked up to $n \leq 110$ (up to 900 in [359]), and we checked by computer up to $n=10000$ but none of $B_n(-1)$ numbers vanishes $(n \neq 2)$. Layman further studied the arithmetical properties of the $B_n(-1)$ numbers $[359]$.

After these initial studies, many achievements have been made. It is known now, due to T. Amdeberhan, V. De Angelis, and V. H. Moll [18], that there is at most one $n>2$ such that $B_n(-1)=0$. See [29] for an “economical account” of the proof, and for historical remarks. The paper [589] contains many additional arithmetical properties of this sequence. The conjecture that $B_n(-1) \neq 0$ for all $n>2$ is attributed to $\mathrm{H}$. Wilf, and it is often referred to as Wilf’s conjecture. The source of this attribution is seemingly the paper of Y. Yang [608]. In this paper and also in [572], a detailed asymptotic analysis is carried out for this sequence. Among others, it is known that
$$
\limsup _{n \rightarrow \infty} \frac{\log \left|B_n(-1)\right|}{n \log n}=1
$$

组合学代考

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The sum and product of the zeros of B

从上一节我们知道我们可以写
$$
B_n(x)=\left(x-t_1^{(n)}\right)\left(x-t_2^{(n)}\right) \cdots\left(x-t_n^{(n)}\right)
$$
在哪里 $t_i^{(n)}$ 是贝尔多项式的零点 $(i=1, \ldots, n)$ ，并且这 些数字都是负数，除了一个零 $x=0$. 我们选择这个作为 $t_1^{(n)}$ ，那是， $t_1^{(n)}=0$
来自 Viète’s ${ }^3$ 我们可以对这些零点有更多的了解。其中一 个公式表示如果我们有一个多项式
$$
p(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0,
$$
这样零点是 $x_1, \ldots, x_n$ (这些可以是实数或复数），也 就是说，
$$
p(x)=a_n\left(x-x_1\right)\left(x-x_2\right) \cdots\left(x-x_n\right),
$$
那么这些零的总和是
$$
x_1+x_2+\cdots+x_n=-\frac{a_{n-1}}{a_n} .
$$
另一个公式计算零的乘积:
$$
x_1 x_2 \cdots x_n=(-1)^n \frac{a_0}{a_n}
$$
通过比较的系数可以很容易地看出这些 $x^{n-1}$ 和 $x^0$ 分别在 (3.5) 和 (3.6) 的右边 ${ }^4$.
这些公式得出以下关于贝尔多项式零点的和和乘积公式:
$t_{-} 1 \wedge{(n)}+t_{-} 2 \wedge{(n)}+\mid c d o t s+t_{-} n \wedge{(n)}=-$ frac ${\backslash$ eft ${\backslash$ begin ${$ array
和（采取 $B_n(x) / x$ 反而）

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The irreducibility of Bn(x)

贝尔多项式是否有有理零点 $(n \geq 3)$ 除了琐碎的 $t_1^{(n)}=0$ 末知。如果一个非常数多项式没有有理数零 点，我们说它在有理数上是不可约的。
1983 年，JW Layman 和 CL Prather [360] 给出了五个不 同的等价于贝尔多项式不可约性的陈述 $B_n(x) / x$. 其中 之一是贝尔多项式的非零性质 $x=-1$. 一旦我们回忆起 有理根定理 [574， p. 574]，这实际上就很容易看出。 109]。
有理根定理说如果一个多项式
$$
p(x)=a_n x^n+a_{n-1} x^{n-1}+\cdots+a_1 x+a_0
$$
有一个有理数零 $\mathrm{x}^{\wedge}$ ，即它的形式 $x=\frac{a}{b}$ （在哪里 $a$ 和 $b$ 没 有共同的约数），那么 $a$ 必须分开 $a_0$ ，和 $b$ 必须分开 $a_n$.
由于常数系数和最高阶系数在 $B_n(x) / x$ 都是一，唯一可 能的有理零点是 $\backslash \mathrm{pm} 1$ 。当然, $B_n(x)>0$ 如果 $x>0$ ，所以唯一可能的有理根是负一。因此，我们得出以下声 明: $B_n(x) / x$ 当且仅当 $B_n(-1) \neq 0$. 自从
$B_2(x)=1+x$ ，我们有 $B_2(-1)=0$ ，但这似乎是唯 一的一个案例。在 [360] 中，这被检查到 $n \leq 110$
([359] 中最多 900 个)，我们通过计算机检查了最多 $n=10000$ 但没有一个 $B_n(-1)$ 数字消失 $(n \neq 2)$.
Layman 进一步研究了 $B_n(-1)$ 数字 $[359]$.
经过这些初步研究，已经取得了许多成果。现在已知，由 于 T. Amdeberhan、V. De Angelis 和 VH Moll [18]，最 多有一个 $n>2$ 这样 $B_n(-1)=0$. 有关证明的“经济说 明”和历史评论，请参见 [29]。论文 [589] 包含该序列的 许多附加算术性质。的猜想 $B_n(-1) \neq 0$ 对全部 $n>2$ 归因于H. Wilf，它通常被称为 Wilf 猜想。这种归因的来 源似乎是 Y. Yang [608] 的论文。在本文和 [572] 中，对 该序列进行了详细的渐近分析。其中，众所周知
$$
\limsup _{n \rightarrow \infty} \frac{\log \left|B_n(-1)\right|}{n \log n}=1
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

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回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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