## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|MA1510

2023年3月22日

couryes-lab™ 为您的留学生涯保驾护航 在代写组合学Combinatorics方面已经树立了自己的口碑, 保证靠谱, 高质且原创的统计Statistics代写服务。我们的专家在代写组合学Combinatorics代写方面经验极为丰富，各种代写组合学Combinatorics相关的作业也就用不着说。

• Statistical Inference 统计推断
• Statistical Computing 统计计算
• Advanced Probability Theory 高等概率论
• Advanced Mathematical Statistics 高等数理统计学
• (Generalized) Linear Models 广义线性模型
• Statistical Machine Learning 统计机器学习
• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
• Foundations of Data Science 数据科学基础
couryes™为您提供可以保分的包课服务

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Some additional transformations

We describe three important observations that help in the determination of generating functions.

If $f(x)$ is multiplied by $x$, we get the generating function of $a_{n-1}$ :
$$x f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^n,$$

If $f(x)$ is divided by $x$, we get the generating function of $a_{n+1}$ :
$$\frac{f(x)}{x}=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^n .$$
(To eliminate negative powers of $x$, we supposed that $a_0=0$.)

Let $a_n$ be a sequence and $f(x)$ be its generating function. Multiplying $f(x)$ by $\frac{1}{1-x}$ (which belongs to $b_n=1$ ) we have that
$$\frac{f(x)}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n\left(\sum_{k=0}^n a_k \cdot 1\right)$$
Therefore, $\frac{f(x)}{1-x}$ is the generating function of the partial sums of $a_n$ :
$$\frac{f(x)}{1-x}=a_0+\left(a_0+a_1\right) x+\left(a_0+a_1+a_2\right) x^2+\left(a_0+a_1+a_2+a_3\right) x^3+\cdots$$

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Where do the name generating functions come from

After introducing the generating functions and their most basic operations, we show where their name comes from.
Let us take the function
$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,$$
and the $n$th term of the sum: $a_n x^n$. If we take the derivative of this function $n$ times, the terms with powers smaller than $n$ disappear. In addition, the first not disappearing term, $a_n x^n$, turns to be $a_n n x^{n-1}$ after the first derivation, then $a_n n(n-1) x^{n-2}$ after the second derivation, and finally $a_n n(n-1) \cdots 2$. $1 x^0=a_n n$ ! after taking the $n$th derivative. If we now substitute $x=0$ into the $n$th derivative, all the terms with power higher than 0 disappear, and the value of this derivative at zero will be $n ! a_n$. Dividing by $n$ !, we have the fundamental fact that
$$\left.\frac{1}{n !} f^{(n)}(x)\right|{x=0}=a_n$$ Here the vertical line and $x=0$ in the lower index means that we substitute $x=0$ into the derivative. If $f(x)$ is an exponential generating function, then it is equally easy to see that we do not divide by $n !$ : $$\left.f^{(n)}(x)\right|{x=0}=a_n .$$
To take an example, we look for the sequence $a_n$ for which the sine function is the generating function. $a_0$ must simply be the zeroth derivative at $x=0$, divided by $0 !=1$ :
$$a_0=\left.\frac{1}{0 !} \sin ^{(0)}(x)\right|_{x=0}=\frac{1}{0 !} \sin 0=0 .$$

# 组合学代考

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Some additional transformations

$$x f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^{n+1}=\sum_{n=1}^{\infty} a_{n-1} x^n,$$

$$\frac{f(x)}{x}=\sum_{n=1}^{\infty} a_n x^{n-1}=\sum_{n=0}^{\infty} a_{n+1} x^n .$$
(为了消除负能量 $x$ ，我们假设 $a_0=0$.)

$$\frac{f(x)}{1-x}=\sum_{n=0}^{\infty} x^n\left(\sum_{k=0}^n a_k \cdot 1\right)$$

$$\frac{f(x)}{1-x}=a_0+\left(a_0+a_1\right) x+\left(a_0+a_1+a_2\right) x^2$$

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Where do the name generating functions come from

$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$$

$$\frac{1}{n !} f^{(n)}(x) \mid x=0=a_n$$

$$f^{(n)}(x) \mid x=0=a_n$$

$$a_0=\left.\frac{1}{0 !} \sin ^{(0)}(x)\right|_{x=0}=\frac{1}{0 !} \sin 0=0 .$$

## 有限元方法代写

tatistics-lab作为专业的留学生服务机构，多年来已为美国、英国、加拿大、澳洲等留学热门地的学生提供专业的学术服务，包括但不限于Essay代写，Assignment代写，Dissertation代写，Report代写，小组作业代写，Proposal代写，Paper代写，Presentation代写，计算机作业代写，论文修改和润色，网课代做，exam代考等等。写作范围涵盖高中，本科，研究生等海外留学全阶段，辐射金融，经济学，会计学，审计学，管理学等全球99%专业科目。写作团队既有专业英语母语作者，也有海外名校硕博留学生，每位写作老师都拥有过硬的语言能力，专业的学科背景和学术写作经验。我们承诺100%原创，100%专业，100%准时，100%满意。

## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。