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组合学是数学的一个领域，主要涉及计数（作为获得结果的手段和目的）以及有限结构的某些属性。

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数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The binomial transformation

As we noted during deducing (2.8), the binomial transform of a sequence $a_n$ is defined by
$$
b_n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) a_k
$$
We also know that if the exponential generating function of $a_n$ is $f(x)$, then the exponential generating function of $b_n$ is $e^x f(x)$.

We had actually met with a binomial transform at the very beginning. This was the recursion (1.1). This recursion says that for the Bell numbers the binomial transform is $b_n=B_{n+1}$. In other words, the binomial transformation acts on the Bell number sequence as an index shifting.

Let us take another example. The binomial theorem (see the Appendix) says that
$$
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) x^k y^{n-k} .
$$
If here we substitute $y=1$ we have that
$$
(x+1)^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) x^k .
$$
In this case $a_n=x^n$ and $b_n=(x+1)^n$. The binomial transform is naturally applicable on polynomial sequences.

We can invert the transform to get back $a_n$ from $b_n$ in the above example. We just need to substitute $x+1$ in place of $x$ and -1 in place of $y$ :
$$
(x+1-1)^n=x^n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)(x+1)^k(-1)^{n-k} .
$$
A similar approach works in general (the one line proof is seen below). If
$$
b_n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) a_k
$$
then
$$
a_n=\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right)(-1)^{n-k} b_k \text {. }
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Applications of the above techniques

We are now endowed with sufficient knowledge to turn back to our combinatorial numbers and study them from a new point of view. Many new identities can be deduced with the generating function technique.

In the first chapter, firstly we met with the Bell numbers. Recall (1.1) and (2.8). Based on these, and letting $f(x)$ be the generating function of $B_n$,
$$
f(x) e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}\left(\sum_{k=0}^n\left(\begin{array}{l}
n \
k
\end{array}\right) B_k\right)=\sum_{n=0}^{\infty} B_{n+1} \frac{x^n}{n !}
$$
We also know that the derivative of $f(x)$ gives the exponential generating function of $B_{n+1}$, that is,
$$
f(x) e^x=f^{\prime}(x)
$$
Which function can be $f(x)$ ? We can easily see that $f(x)=e^{e^x}$ is a suitable function satisfying the above differential equation. Equation (2.15) can be multiplied by any real number $c, c f(x)$ is also a solution. What distinguishes the actual exponential generating function of the Bell numbers in the whole class $c f(x)$ ? We know from the theory of generating functions that $f(0)$ is the zeroth coefficient in the series expansion of $f(x)$ (see (2.9)). The zeroth coefficient is $B_0=1$ in our case. Since $c e^{e^0}=c e$, we infer that $c=\frac{1}{e}$. We determined the exponential generating function of the Bell numbers:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{x^n}{n !}=\frac{1}{e} e^{e^x}
$$ This result has a nice and immediate consequence that shows why the generating functions are so useful. This consequence is the Dobiński formula.

组合学代考

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|The binomial transformation

正如我们在推导 (2.8) 时注意到的，序列的二项式变换 $a_n$ 由定义
$$
b_n=\sum_{k=0}^n(n k) a_k
$$
我们还知道，如果指数生成函数 $a_n$ 是 $f(x)$ ，那么指数生 成函数 $b_n$ 是 $e^x f(x)$.
我们实际上在一开始就遇到了二项式变换。这就是递归 (1.1)。这个递归表示对于贝尔数，二项式变换是 $b_n=B_{n+1}$. 换句话说，二项式变换作用于贝尔数列作 为索引移位。
让我们再举一个例子。二项式定理 (见附录) 说
$$
(x+y)^n=\sum_{k=0}^n(n k) x^k y^{n-k}
$$
如果我们在这里替换 $y=1$ 我们有那个
$$
(x+1)^n=\sum_{k=0}^n(n k) x^k \text {. }
$$
在这种情况下 $a_n=x^n$ 和 $b_n=(x+1)^n$. 二项式变换 自然适用于多项式序列。
我们可以反转转换以返回 $a_n$ 从 $b_n$ 在上面的例子中。我们 只需要替换 $x+1$ 代替 $x$ 和 -1 代替 $y$ :
$$
(x+1-1)^n=x^n=\sum_{k=0}^n(n k)(x+1)^k(-1)^{n-k} \text {. }
$$
类似的方法通常有效 (单行证明见下文)。如果
$$
b_n=\sum_{k=0}^n(n k) a_k
$$
然后
$$
a_n=\sum_{k=0}^n(n k)(-1)^{n-k} b_k .
$$

数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Applications of the above techniques

我们现在拥有足够的知识，可以回到我们的组合数并从新 的角度研究它们。许多新的身份可以用生成函数技术推导 出来。
在第一章中，我们首先遇到了贝尔数。回忆 (1.1) 和 (2.8)。基于这些，让 $f(x)$ 是的生成函数 $B_n$ ，
$$
f(x) e^x=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n !}\left(\sum_{k=0}^n(n k) B_k\right)=\sum_{n=0}^{\infty} B_{n+1} \frac{x^n}{n !}
$$
我们还知道，导数 $f(x)$ 给出指数生成函数 $B_{n+1}$ ，那 是，
$$
f(x) e^x=f^{\prime}(x)
$$
哪个函数可以 $f(x)$ ? 我们很容易看出 $f(x)=e^{e^x}$ 是满足 上述微分方程的合适函数。方程 (2.15) 可以乘以任何实 数 $c, c f(x)$ 也是一种解决方法。什么区分了整个类中贝尔 数的实际指数生成函数 $c f(x)$ ? 我们从生成函数理论知道 $f(0)$ 是级数展开中的第零个系数 $f(x)$ (见 (2.9))）。 第零个系数是 $B_0=1$ 在我们的例子中。自从 $c e^{e^0}=c e$ ， 我们推断 $c=\frac{1}{e}$. 我们确定了贝尔数的指数生成函数:
$$
\sum_{n=0}^{\infty} B_n \frac{x^n}{n !}=\frac{1}{e} e^{e^x}
$$
这个结果有一个很好的直接结果，说明了为什么生成函数 如此有用。这个结果就是 Dobiński 公式。

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广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

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有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

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