## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|CS519

2023年3月27日

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## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Generalized Bell polynomials

Interestingly enough, there is a function which incorporates all of the numbers and polynomials we have studied so far and many others. It is worth to study this function in more detail.

Definition 3.3.1. Let a sequence $z_1, z_2, \ldots$ be given. The function of infinitely many variables defined by the exponential generating function
$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^n B_{n, k}\left(z_1, z_2, \ldots\right) x^k\right) \frac{y^n}{n !}=\exp \left[x\left(\sum_{n=1}^{\infty} z_n \frac{y^n}{n !}\right)\right]$$
is called generalized Bell polynomial.
Some examples enlighten how this function incorporates our counting sequences. First let $z_n=1$ for all $n$. Then
$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^n B_{n, k}(1,1, \ldots) x^k\right) \frac{y^n}{n !}=\exp \left[x\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n !}\right)\right]=\exp \left(x\left(e^y-1\right)\right)$$
and on the right-hand side we have the exponential generating function of the Bell numbers. Hence,
$$\sum_{k=0}^n B_{n, k}(1,1, \ldots) x^k=B_n(x)$$
By the same reason the coefficients of the powers of $x$ are the Stirling numbers of the second kind:
$$B_{n, k}(1,1, \ldots)=\left{\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right}$$
These considerations show that the generalized Bell polynomials cover the theory of the second kind Stirling numbers. And they also show where the name “generalized Bell polynomial” comes.

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Idempotent numbers and involutions

We introduce two more combinatorially interesting sequences which also appear as particular cases of the generalized Bell polynomials.
Idempotent numbers
One can verify that
$$B_{n, k}(1,2,3, \ldots)=\left(\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right) k^{n-k}$$
These numbers will appear in the following combinatorial problem. Let $1_n^8$ be the $n$th idempotent number which gives that how many functions $f$ are there on an $n$ element set (say, on ${1,2, \ldots, n}$ ) such that
$f:{1,2, \ldots, n} \rightarrow{1,2, \ldots, n}$, and $f(f(x))=f(x)$ for any $x$
We will prove that
$$1_n=\sum_{k=1}^n\left(\begin{array}{l} n \ k \end{array}\right) k^{n-k}$$
Let us see in more detail what the assumption $f(f(x))=f(x)$ means. If
$$f(x)=y, \text { then } y=f(x)=f(f(x))=f(y)$$
Hence, we can prescribe the function in some points and then the images of these points as elements in the domain will be fixed points. Therefore, a function $f$ with the above property can be given if we choose some, say $k$, elements from $n$ and we prescribe the function on these points arbitrarily and on the images of these points the function $f$ is prescribed to be identical. (3.17) follows by summing on the possible values of $k$.

# 组合学代考

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Generalized Bell polynomials

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^n B_{n, k}\left(z_1, z_2, \ldots\right) x^k\right) \frac{y^n}{n !}=\exp \left[x \left(\sum_{n=1}^{\infty} z_n \frac{}}{n}\right.\right.$$

$$\sum_{n=0}^{\infty}\left(\sum_{k=0}^n B_{n, k}(1,1, \ldots) x^k\right) \frac{y^n}{n !}=\exp \left[x\left(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{y^n}{n !}\right)\right]$$

$$\sum_{k=0}^n B_{n, k}(1,1, \ldots) x^k=B_n(x)$$

$B_{-}{n, k}(1,1, \backslash$ dots $)=\backslash$ left ${\backslash$ begin ${$ array $}{}} n \backslash k$ end ${$ array $\left.} \backslash r i g h t\right}$

## 数学代写|组合学代写Combinatorics代考|Idempotent numbers and involutions

$$B_{n, k}(1,2,3, \ldots)=(n k) k^{n-k}$$

$f: 1,2, \ldots, n \rightarrow 1,2, \ldots, n$ ，和 $f(f(x))=f(x)$

$$1_n=\sum_{k=1}^n(n k) k^{n-k}$$

$f(x)=y$, then $y=f(x)=f(f(x))=f(y)$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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