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组合优化是处于组合学和理论计算机科学前沿的一个新兴领域，旨在使用组合技术解决离散优化问题。离散优化问题旨在从一个有限的可能性集合中确定可能的最佳解决方案。

组合优化是数学优化的一个子领域，包括从一个有限的对象集合中找到一个最佳对象，其中可行的解决方案的集合是离散的或可以减少到一个离散集合。典型的组合优化问题是旅行推销员问题（”TSP”）、最小生成树问题（”MST”）和结囊问题。在许多这样的问题中，如前面提到的问题，穷举搜索是不可行的，因此必须采用能迅速排除大部分搜索空间的专门算法或近似算法来代替。

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数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Khachiyan’s Theorem

In this section we shall prove Khachiyan’s theorem: the ELLIPSOID METHOD can be applied to LINEAR PROGRAMMING in order to obtain a polynomial-time algorithm. Let us first prove that it suffices to have an algorithm for checking feasibility of linear inequality systems:

Proposition 4.16. Suppose there is a polynomial-time algorithm for the following problem: “Given a matrix $A \in \mathbb{Q}^{m \times n}$ and a vector $b \in \mathbb{Q}^m$, decide if ${x: A x \leq b}$ is empty.” Then there is a polynomial-time algorithm for LINEAR PROGRAMMING which finds an optimum basic solution if there exists one.

Proof: Let an LP $\max {c x: A x \leq b}$ be given. We first check if the primal and dual LPs are both feasible. If at least one of them is infeasible, we are done by Theorem 3.27. Otherwise, by Corollary 3.21, it is sufficient to find an element of ${(x, y): A x \leq b, y A=c, y \geq 0, c x=y b}$.

We show (by induction on $k$ ) that a solution of a feasible system of $k$ inequalities and $l$ equalities can be found by $k$ calls to the subroutine checking emptiness of polyhedra plus additional polynomial-time work. For $k=0$ a solution can be found easily by GAUSSIAN ELIMINATION (Corollary 4.11).

Now let $k>0$. Let $a x \leq \beta$ be an inequality of the system. By a call to the subroutine we check whether the system becomes infeasible by replacing $a x \leq \beta$ by $a x=\beta$. If so, the inequality is redundant and can be removed (cf. Proposition $3.8$ ). If not, we replace it by the equality. In both cases we reduced the number of inequalities by one, so we are done by induction.

If there exists an optimum basic solution, the above procedure generates one, because the final equality system contains a maximal feasible subsystem of $A x=b$.
Before we can apply the ElLIPSOID METHOD, we have to take care that the polyhedron is bounded and full-dimensional:

Proposition 4.17. (Khachiyan [1979], Gács and Lovász [1981]) Let $A \in \mathbb{Q}^{m \times n}$ and $b \in \mathbb{Q}^m$. The system $A x \leq b$ has a solution if and only if the system
$$
A x \leq b+\epsilon \mathbb{\mathbb { 1 }}, \quad-R \mathbb{1} \leq x \leq R \mathbb{1}
$$
has a solution, where 1 is the all-one vector, $\frac{1}{\epsilon}=2 n 2^{4(\operatorname{size}(A)+\operatorname{size}(b))}$ and $R=$ $1+2^{4(\operatorname{size}(A)+\operatorname{size}(b))}$

If $A x \leq b$ has a solution, then volume $\left(\left{x \in \mathbb{R}^n: A x \leq b+\epsilon \mathbb{1},-R \mathbb{1} \leq x \leq\right.\right.$ $R \mathbb{1}}) \geq\left(\frac{2 \epsilon}{n 2^{\operatorname{size}(A)}}\right)^n$.

数学代写|组合优化代写Combinatorial optimization代考|Separation and Optimization

The above method (in particular Proposition 4.16) requires that the polyhedron be given explicitly by a list of inequalities. However, a closer look shows that this is not really necessary. It is sufficient to have a subroutine which – given a vector $x-$ decides if $x \in P$ or otherwise returns a separating hyperplane, i.e. a vector $a$ such that $a x>\max {a y: y \in P}$. We shall prove this for full-dimensional polytopes; for the general (more complicated) case we refer to Grötschel, Lovász and Schrijver [1988] (or Padberg [1995]). The results in this section are due to Grötschel, Lovász and Schrijver [1981] and independently to Karp and Papadimitriou [1982] and Padberg and Rao [1981].

With the results of this section one can solve certain linear programs in polynomial time although the polytope has an exponential number of facets. Many examples will be discussed later in this book; see e.g. Corollary $12.22$ or Theorem 20.34. By considering the dual LP one can also deal with linear programs with a huge number of variables.

Let $P \subseteq \mathbb{R}^n$ be a full-dimensional polytope, or more generally, a fulldimensional bounded convex set. We assume that we know the dimension $n$ and two balls $B\left(x_0, r\right)$ and $B\left(x_0, R\right)$ such that $B\left(x_0, r\right) \subseteq P \subseteq B\left(x_0, R\right)$. But we do not assume that we know a linear inequality system defining $P$. In fact, this would not make sense if we want to solve linear programs with an exponential number of constraints in polynomial time, or even optimize linear objective functions over nonlinearly constrained convex sets.

Below we shall prove that, under some reasonable assumptions, we can optimize a linear function over a polyhedron $P$ in polynomial time (independent of the number of constraints) if we have a so-called separation oracle: a subroutine for the following problem: Note that such a vector $d$ exists if $P$ is a rational polyhedron or a compact convex set (cf. Exercise 21 of Chapter 3). Given a convex set $P$ by such a separation oracle, we look for an oracle algorithm using this as a black box. In an oracle algorithm we may ask the oracle at any time and we get a correct answer in one step. We can regard this concept as a subroutine whose running time we do not take into account. (In Chapter 15 we shall give a formal definition.)

组合优化代考

数学代写|组合优化代写组合优化代考|哈奇扬定理

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在本节中，我们将证明Khachiyan定理:椭球法可以应用于线性规划，以获得多项式时间算法。让我们首先证明有一个算法来检验线性不等式系统的可行性是足够的:

命题4.16假设有一个多项式时间算法来解决以下问题:“给定一个矩阵$A \in \mathbb{Q}^{m \times n}$和一个向量$b \in \mathbb{Q}^m$，判断${x: A x \leq b}$是否为空。”然后是线性规划的多项式时间算法，它在存在最优基本解的情况下找到最优基本解

证明:让LP $\max {c x: A x \leq b}$给出。我们首先检查原始和双重LPs是否都是可行的。如果它们中至少有一个是不可行的，我们就可以用定理3.27来完成。否则，根据推论3.21，找到${(x, y): A x \leq b, y A=c, y \geq 0, c x=y b}$的元素就足够了

我们证明(通过在$k$上的归纳法)$k$不等式和$l$等式的可行系统的解可以通过$k$调用子例程检查多面体的空性加上额外的多项式时间工作来找到。对于$k=0$，可以很容易地通过高斯消去法(推论4.11)找到一个解

现在让$k>0$。设$a x \leq \beta$为系统的一个不等式。通过调用子例程，我们通过将$a x \leq \beta$替换为$a x=\beta$来检查系统是否变得不可用。如果是，则不等式是多余的，可以删除(cf.命题$3.8$)。如果不是，我们用等式代替它。在这两种情况下，我们把不等式的数量减少了一个，所以我们用归纳法完成了

如果存在一个最优的基本解，上面的程序生成一个，因为最终的等式系统包含一个最大可行子系统$A x=b$ .
在我们应用ElLIPSOID METHOD之前，我们必须注意多面体是有界的和全维的:

命题4.17。(Khachiyan [1979]， Gács和Lovász[1981])让$A \in \mathbb{Q}^{m \times n}$和$b \in \mathbb{Q}^m$。系统$A x \leq b$有一个解当且仅当系统
$$
A x \leq b+\epsilon \mathbb{\mathbb { 1 }}, \quad-R \mathbb{1} \leq x \leq R \mathbb{1}
$$
有一个解，其中1是全一向量，$\frac{1}{\epsilon}=2 n 2^{4(\operatorname{size}(A)+\operatorname{size}(b))}$和$R=$$1+2^{4(\operatorname{size}(A)+\operatorname{size}(b))}$

如果$A x \leq b$有解决方案，那么卷$\left(\left{x \in \mathbb{R}^n: A x \leq b+\epsilon \mathbb{1},-R \mathbb{1} \leq x \leq\right.\right.$$R \mathbb{1}}) \geq\left(\frac{2 \epsilon}{n 2^{\operatorname{size}(A)}}\right)^n$ .

数学代写|组合优化代写combinatoroptimization代考|Separation and optimization

.拆分优化 以上方法(特别是命题4.16)要求多面体由一系列不等式显式给出。然而，仔细一看就会发现这并不是真的必要。有一个子程序就足够了——给定一个向量$x-$，它决定$x \in P$或以其他方式返回一个分离的超平面，即一个向量$a$，使得$a x>\max {a y: y \in P}$。我们将对全维多面体证明这一点;对于一般的(更复杂的)情况，我们参考Grötschel, Lovász和Schrijver[1988](或Padberg[1995])。本节的结果来自Grötschel, Lovász和Schrijver[1981]，独立来自Karp和Papadimitriou[1982]和Padberg和Rao [1981] 根据本节的结果，我们可以在多项式时间内求解某些线性规划，尽管多边形有指数数量的面。本书后面将讨论许多例子;参见e.g.推论$12.22$或定理20.34。通过考虑双LP，我们也可以处理具有大量变量的线性规划 设$P \subseteq \mathbb{R}^n$是一个全维多边形，或者更一般地说，一个全维有界凸集。我们假设我们知道尺寸$n$和两个球$B\left(x_0, r\right)$和$B\left(x_0, R\right)$，这样$B\left(x_0, r\right) \subseteq P \subseteq B\left(x_0, R\right)$。但我们不假设我们知道一个定义$P$的线性不等式系统。事实上，如果我们想要在多项式时间内解决具有指数数量约束的线性程序，或者甚至优化非线性约束凸集上的线性目标函数，这是没有意义的 下面我们将证明，在一些合理的假设下，我们可以在多项式时间内(独立于约束的数量)优化多面体$P$上的线性函数，如果我们有一个所谓的分离oracle:以下问题的子例程:请注意，如果$P$是一个有理多面体或一个紧凸集，则存在这样一个向量$d$(参见第3章练习21)。给定这样一个分离oracle的凸集$P$，我们寻找一个使用它作为黑箱的oracle算法。在oracle算法中，我们可以在任何时候向oracle提问，一步就能得到正确的答案。我们可以把这个概念看作一个子例程，我们不考虑它的运行时间。(在第十五章我们将给出一个正式的定义)

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。