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组合数学是一门研究可数或离散对象的科学。随着计算机科学日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显。

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数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Argue by contradiction

11.5. We already know that $K_n$ is planar for $n<5$ (Figure $11.1$ shows this for $n=4$ ). Let us take a look at $K_5$. It has $p=5$ vertices and $q=10$ edges. Assume that $K_5$ is planar; then, by Exercise 11.2, it satisfies the inequality $q \leq 3(p-2)$, i.e., $10 \leq 9$, which is absurd. Therefore, $K_5$ is not planar.

Finally, every graph $K_n$ for $n \geq 5$ contains $K_5$ as a subgraph. Therefore, $K_n$ is not planar for $n \geq 5$.
11.6. Figure $11.6$ shows that $K_{m, 2}$ is planar for any positive integer $m$. Therefore any subgraph of $K_{m, 2}$ is planar as well, i.e., a complete bipartite graph $K_{m, n}$ is planar if at least one of the positive integers $m$, $n$ is less than three.

Let us take a look at $K_{3,3}$. It has $p=6$ vertices, $q=9$ edges, and no triangles (Theorem 9.2). Therefore, by Exercise $11.3^{\prime}, q \leq$ $2(p-2)$, i.e., $9 \leq 8$, which is absurd. Therefore, $K_{3,3}$ is not planar.
Every graph $K_{m, n}$ for $m \geq 3, n \geq 3$ contains $K_{3,3}$ as a subgraph, and therefore is not planar.
11.7. Both graphs $G_1$ and $G_2$ can be obtained from the graph $G$ (Figure 11.7) by a succession of elementary subdivisions.

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|The Intersection Index and the Jordan Curve Theorem

In the previous section we talked about the regions we obtain when a graph is drawn in the plane without intersections. Is it clear what a region is? Perhaps you would answer yes. But allow us to shake your confidence in the clarity of this notion.

Let us consider a very simple example: look at a complete graph $K_3$, the contour of a triangle (Figure 12.1). Is it evident that the graph in Figure $12.1$ divides the plane into two regions? In other words, is it true that every closed curve that does not intersect itself defines two regions, interior and exterior?

It appears “visually obvious” that a curve $C$ cannot be a boundary common to more than two regions in the plane such that all regions border $C$ along its entirety. Intuition, however, can trick us.

Example 12.1. There is a curve in the plane that is a common boundary of three regions.

Some such curves, known as the “Lakes of Wada,” were discovered by the Japanese mathematician Kunizô Yoneyama in 1917 ([Y]).
Proof. Assume that a portion of land surrounded by the sea contains two lakes: a warm lake and a cold lake. In order to provide the land with water we build canals.

On the first day, we build a canal (Figure 12.2) that delivers warm lake water so that it is available at a distance not exceeding 1 from every point of land (this canal is neither connected to the sea nor to the cold lake!).

On the second day, we build a canal that delivers cold lake water so that it is available at a distance not exceeding 1 from every point of the remaining land (this canal is not connected to the sea, the warm lake, or to the previously built canal).

On the third day, we build a canal that delivers sea water so that it is available at a distance not exceeding 1 from every point of the remaining land (of course, this canal is not connected to the lakes or to the previously built canals).

During the next three days we extend the three canals further so that the warm lake water, the cold lake water, and the sea water are available from any point of the remaining land at a distance not exceeding $\frac{1}{2}$.

组合数学代考

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|Argue by contradiction

11.5。我们已经知道 $K_n$ 在 $n<5$ 时是平面的（图 $11.1$ 显示 $n=4$ 时）。让我们来看看$K_5$。它有 $p=5$ 个顶点和 $q=10$ 个边。假设 $K_5$ 是平面的；然后，通过练习 11.2，它满足不等式 $q \leq 3(p-2)$，即 $10 \leq 9$，这是荒谬的。因此，$K_5$ 不是平面的。

最后，$n \geq 5$ 的每个图 $K_n$ 都包含 $K_5$ 作为子图。因此，对于 $n \geq 5$，$K_n$ 不是平面的。
11.6. 图 $11.6$ 显示 $K_{m, 2}$ 对于任何正整数 $m$ 都是平面的。因此 $K_{m, 2}$ 的任何子图也是平面的，即一个完整的二分图 $K_{m, n}$ 是平面的，如果至少一个正整数 $m$, $n$ 小于比三个。

让我们来看看$K_{3,3}$。它有 $p=6$ 个顶点，$q=9$ 个边，没有三角形（定理 9.2）。因此，通过Exercise $11.3^{\prime}，q \leq$ $2(p-2)$，即$9 \leq 8$，这是荒谬的。因此，$K_{3,3}$ 不是平面的。
$K_{m, n}$ for $m \geq 3, n \geq 3$ 包含 $K_{3,3}$ 作为子图，因此不是平面的。
11.7. 图 $G_1$ 和 $G_2$ 都可以通过一系列基本细分从图 $G$（图 11.7）中获得。

数学代写|组合数学代写Combinatorial mathematics代考|The Intersection Index and the Jordan Curve Theorem

在上一节中，我们讨论了在没有交叉点的平面上绘制图形时获得的区域。清楚什么是区域吗？也许你会回答是。但是请允许我们动摇您对这个概念的清晰度的信心。

让我们考虑一个非常简单的例子：看一个完整的图 $K_3$，一个三角形的轮廓（图 12.1）。图 $12.1$ 中的图形将平面划分为两个区域是否明显？换句话说，是否每条不与自身相交的闭合曲线都定义了两个区域，即内部区域和外部区域？

曲线 $C$ 不可能是平面中两个以上区域的公共边界，因此所有区域沿其整体与 $C$ 接壤，这似乎“在视觉上显而易见”。然而，直觉可以欺骗我们。

例 12.1。平面中有一条曲线是三个区域的公共边界。

1917 年，日本数学家米山国三 ([Y]) 发现了一些被称为“和田湖”的曲线。
证明。假设一片被大海包围的土地包含两个湖泊：一个暖湖和一个冷湖。为了给土地供水，我们修建了运河。

第一天，我们建造一条输送温暖湖水的运河（图 12.2），以便在距离陆地的每个点不超过 1 的距离内可用（这条运河既不与大海相连，也不与冷湖相连！） .

第二天，我们建造一条输送冷湖水的运河，以便在距离剩余土地的每个点不超过 1 的距离内可用（这条运河不与大海、暖湖或之前的建运河）。

第三天，我们建造一条输送海水的运河，以便在距离剩余土地的每个点不超过 1 的距离内可用（当然，这条运河不连接湖泊或之前建造的运河） .

在接下来的三天里，我们进一步扩展了这三条运河，以便在不超过 $\frac{1}{2} $。

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

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MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。