# 数学代写|微积分代写Calculus代写|MTH263

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## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Power Series

Let $f:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$ be continuous, and fix $c$ in $(a, b)$. Suppose that $f$ is differentiable at $c$, and define $h_1(x)$ by
$$h_1(x)= \begin{cases}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}, & x \neq c, \ f^{\prime}(c), & x=c\end{cases}$$
Then, $h_1$ is continuous, when $x \neq c$, and $\lim {x \rightarrow c} h_1(x)=f^{\prime}(c)=h_1(c)$, so, $h_1$ is continuous at $c$. Thus, differentiability at $c$ implies there is a continuous function $h_1:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$ satisfying $h_1(c)=f^{\prime}(c)$ and f(x)=f(c)+h_1(x)(x-c), \quad a{x \rightarrow c} h_2(x) &=\lim {x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)-f^{\prime}(c)(x-c)}{(x-c)^2 / 2} \ &=\lim {x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x) \quad f^{\prime}(c)}{x-c}=f^{\prime \prime}(c) \end{aligned}

Thus, $h_2:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$ is a continuous function satisfying $h_2(c)=f^{\prime \prime}(c)$ and
$$f(x)=f(c)+f^{\prime}(c)(x-c)+\frac{1}{2} h_2(x)(x-c)^2, \quad a<x<b .$$
Now, we carry out this procedure in the general case. Suppose that $f$ is $n$ times differentiable on $(a, b)$ with $f^{(n)}$ continuous on $(a, b)$, and assume $f^{(n)}$ is differentiable at $c$, i.e., assume $f^{(n+1)}(c)$ exists. Define the $(n+1)$ st remainder
\begin{aligned} R_{n+1}(x, c)=f(x) &-\left[f(c)+f^{\prime}(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime}(c)}{2 !}(x-c)^2+\ldots\right.\ &\left.+\frac{f^{(n)}(c)}{n !}(x-c)^n\right], a<x<b \end{aligned}
for example, $R_1(x, c)=f(x)-f(c)$. Define $h_{n+1}:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$ by
$$h_{n+1}(x)= \begin{cases}\frac{R_{n+1}(x, c)}{(x-c)^{n+1} /(n+1) !}, & x \neq c, \ f^{(n+1)}(c), & x=c .\end{cases}$$
Then, $h_{n+1}$ is continuous when $x \neq c$ and $R_{n+1}^{\prime}(x, c ; f)=R_n\left(x, c ; f^{\prime}\right)$, where $R_n(x, c ; f)$ denotes the remainder corresponding to $f$. Applying l’Hopital’s rule $n$ times,
\begin{aligned} \lim {x \rightarrow c} h{n+1}(x) &=\lim {x \rightarrow c} \frac{R{n+1}^{\prime}(x, c)}{(x-c)^n / n !} \ &=\lim {x \rightarrow c} \frac{R_n\left(x, c ; f^{\prime}\right)}{(x-c)^n / n !}=\lim {x \rightarrow c} \frac{R_{n-1}\left(x, c ; f^{\prime \prime}\right)}{(x-c)^{n-1} /(n-1) !} \ &=\cdots=\lim {x \rightarrow c} \frac{R_1\left(x, c ; f^{(n)}\right)}{x-c}=\lim {x \rightarrow c} \frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(c)}{x-c}=f^{(n+1)}(c) . \end{aligned}
Thus, $h_{n+1}$ is continuous on $(a, b)$.

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Trigonometry

In the previous section, we introduced alternating versions of the even and the odd parts of the exponential series, the sine function, and the cosine function,
$$\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\ldots$$
and
$$\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\frac{x^6}{6 !}+\ldots$$
Since these functions are defined by these convergent power series, they are smooth everywhere and satisfy (\3.4): \begin{aligned} &(\sin x)^{\prime}=\cos x \ &(\cos x)^{\prime}=-\sin x \end{aligned}\sin 0=0$, and$\cos 0=1$. The sine function is odd and the cosine function is even, $$\sin (-x)=-\sin x$$ and $$\cos (-x)=\cos x$$ Since $$\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)^{\prime}=2 \sin x \cos x+2 \cos x(-\sin x)=0$$$\sin ^2+\cos ^2$is a constant; evaluating$\sin ^2 x+\cos ^2 x$at$x=0$yields 1 , hence $$\sin ^2 x+\cos ^2 x=1$$ for all$x$. This implies$|\sin x| \leq 1$and$|\cos x| \leq 1$for all$x$. If$a$is a critical point of$\sin x$, then,$\cos a=0$, hence,$\sin a=\pm 1$. Hence,$\sin a=1$at any positive local maximum$a$of$\sin x$. Let$f, g$be differentiable functions satisfying$f^{\prime}=g$and$g^{\prime}=-f$on$\mathbf{R}$. Now, the derivatives of$f \sin +g \cos$and$f \cos -g \sin$vanish, hence, $$f(x) \sin x+g(x) \cos x=g(0),$$ and $$f(x) \cos x-g(x) \sin x=f(0)$$ for all$x$. Multiplying the first equation by$\sin x$and the second by$\cos x$and adding, we obtain $$f(x)=g(0) \sin x+f(0) \cos x .$$ # 微积分代考 ## 数学代写|微积分代写Calculus代写|幂级数 让$f:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$是连续的，并在$(a, b)$中固定$c$。设$f$在$c$是可微的，用 $$h_1(x)= \begin{cases}\frac{f(x)-f(c)}{x-c}, & x \neq c, \ f^{\prime}(c), & x=c\end{cases}$$ 定义$h_1(x)$，那么，$h_1$是连续的，当$x \neq c$和$\lim {x \rightarrow c} h_1(x)=f^{\prime}(c)=h_1(c)$，那么，$h_1$在$c$是连续的。因此，在$c$处的可微性意味着存在一个连续函数$h_1:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$满足$h_1(c)=f^{\prime}(c)和f(x)=f(c)+h_1(x)(x-c), \quad a{x \rightarrow c} h_2(x) &=\lim {x \rightarrow c} \frac{f(x)-f(c)-f^{\prime}(c)(x-c)}{(x-c)^2 / 2} \ &=\lim {x \rightarrow c} \frac{f^{\prime}(x) \quad f^{\prime}(c)}{x-c}=f^{\prime \prime}(c) \end{aligned} 因此，h_2:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$是一个满足$h_2(c)=f^{\prime \prime}(c)$和 $$f(x)=f(c)+f^{\prime}(c)(x-c)+\frac{1}{2} h_2(x)(x-c)^2, \quad a<x<b .$$ 的连续函数。现在，我们在一般情况下执行这个过程。假设$f$在$(a, b)$上是$n$乘可微的，$f^{(n)}$在$(a, b)$上是连续的，并假设$f^{(n)}$在$c$上可微，即假设$f^{(n+1)}(c)$存在。定义余数$(n+1)st \begin{aligned} R_{n+1}(x, c)=f(x) &-\left[f(c)+f^{\prime}(c)(x-c)+\frac{f^{\prime \prime}(c)}{2 !}(x-c)^2+\ldots\right.\ &\left.+\frac{f^{(n)}(c)}{n !}(x-c)^n\right], a<x<b \end{aligned} ，例如R_1(x, c)=f(x)-f(c)$。通过 $$h_{n+1}(x)= \begin{cases}\frac{R_{n+1}(x, c)}{(x-c)^{n+1} /(n+1) !}, & x \neq c, \ f^{(n+1)}(c), & x=c .\end{cases}$$ 定义$h_{n+1}:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$，那么，当$x \neq c$和$R_{n+1}^{\prime}(x, c ; f)=R_n\left(x, c ; f^{\prime}\right)$时，$h_{n+1}$是连续的，其中$R_n(x, c ; f)$表示与$f$对应的余数。应用洛必达法则$n次， \begin{aligned} \lim {x \rightarrow c} h{n+1}(x) &=\lim {x \rightarrow c} \frac{R{n+1}^{\prime}(x, c)}{(x-c)^n / n !} \ &=\lim {x \rightarrow c} \frac{R_n\left(x, c ; f^{\prime}\right)}{(x-c)^n / n !}=\lim {x \rightarrow c} \frac{R_{n-1}\left(x, c ; f^{\prime \prime}\right)}{(x-c)^{n-1} /(n-1) !} \ &=\cdots=\lim {x \rightarrow c} \frac{R_1\left(x, c ; f^{(n)}\right)}{x-c}=\lim {x \rightarrow c} \frac{f^{(n)}(x)-f^{(n)}(c)}{x-c}=f^{(n+1)}(c) . \end{aligned} 因此，h_{n+1}$在$(a, b)$上是连续的 ## 数学代写|微积分代写Calculus代写|三角学 . 在上一节中，我们介绍了指数级数、正弦函数和余弦函数的奇偶部分的交替版本， $$\sin x=x-\frac{x^3}{3 !}+\frac{x^5}{5 !}-\frac{x^7}{7 !}+\ldots$$ $$\cos x=1-\frac{x^2}{2 !}+\frac{x^4}{4 !}-\frac{x^6}{6 !}+\ldots$$ 由于这些函数是由这些收敛幂级数定义的，它们在任何地方都是光滑的，并满足($3.4):
\begin{aligned} &(\sin x)^{\prime}=\cos x \ &(\cos x)^{\prime}=-\sin x \end{aligned}
$\sin 0=0$，和$\cos 0=1$。正弦函数为奇，余弦函数为偶，
$$\sin (-x)=-\sin x$$

$$\cos (-x)=\cos x$$

$$\left(\sin ^2 x+\cos ^2 x\right)^{\prime}=2 \sin x \cos x+2 \cos x(-\sin x)=0$$
$\sin ^2+\cos ^2$是一个常数;在$x=0$上计算$\sin ^2 x+\cos ^2 x$得到1，因此对于所有$x$
$$\sin ^2 x+\cos ^2 x=1$$
。这意味着所有$x$的$|\sin x| \leq 1$和$|\cos x| \leq 1$。如果$a$是$\sin x$的临界点，则，$\cos a=0$，因此，$\sin a=\pm 1$。因此，在$\sin x$的任何正局部最大值$a$处，$\sin a=1$ .

$$f(x) \sin x+g(x) \cos x=g(0),$$

$$f(x) \cos x-g(x) \sin x=f(0)$$
。第一个方程乘以$\sin x$，第二个方程乘以$\cos x$并相加，得到
$$f(x)=g(0) \sin x+f(0) \cos x .$$

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。

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