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微积分是数学的一个分支，涉及瞬时变化率的计算（微积分）和无限多的小因素相加以确定一些整体（积分微积分）

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• Foundations of Data Science 数据科学基础

数学代写|微积分代写Calculus代写|Mapping Properties

To differentiate roots, we need to know how derivatives of inverses behave. But continuous functions are invertible iff they are strictly monotone ( $\S 2.3)$, so, we begin by using the derivative to identify monotonicity.

Theorem 3.2.1. Let $f:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$ be differentiable. If $f^{\prime}(x) \neq 0$ for $a0$ on $(a, b)$ or $f^{\prime}(x)<0$ on $(a, b)$. Moreover, $f^{\prime}(x) \geq 0$ on $(a, b)$ iff $f$ is increasing, and $f^{\prime}(x) \leq 0$ on $(a, b)$ iff $f$ is decreasing.

By the mean value theorem, given $ac$, so,
$$
f^{\prime}(c)=\lim _{x \rightarrow c+} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0,
$$
for all $a0$ on $(a, b)$ or $f^{\prime}<0$ on $(a, b)$.

It is not, generally, true that strict monotonicity implies the nonvanishing of $f^{\prime}$. For example, $f(x)=x^3$ is strictly increasing on $\mathbf{R}$ but $f^{\prime}(0)=0$.
Since its derivative was computed in the previous section, the function
$$
f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}
$$
is strictly increasing on $(0, \infty)$ and strictly decreasing on $(-\infty, 0)$. Thus, the critical point $x=0$ is a minimum of $f$ on $\mathbf{R}$.

A useful consequence of this theorem is the following: If $f$ and $g$ are differentiable on $(a, b)$, continuous on $[a, b], f(a)=g(a)$, and $f^{\prime}(x) \geq g^{\prime}(x)$ on $(a, b)$, then, $f(x) \geq g(x)$ on $[a, b]$. This follows by applying the theorem to $h=f-g$.

Another consequence is that derivatives, although not necessarily continuous, satisfy the intermediate value property (Exercise $\mathbf{3 . 2 . 8}$ ).

Now we can state the inverse function theorem for differentiable functions.

数学代写|微积分代写Calculus代写|Graphing Techniques

Let $f$ be differentiable on $(a, b)$. If $f^{\prime}=d f / d x$ is differentiable on $(a, b)$, we denote its derivative by $f^{\prime \prime}=\left(f^{\prime}\right)^{\prime} ; f^{\prime \prime}$ is the second derivative of $f$. If $f^{\prime \prime}$ is differentiable on $(a, b), f^{\prime \prime \prime}=\left(f^{\prime \prime}\right)^{\prime}$ is the third derivative of $f$. In general, we let $f^{(n)}$ denote the $n$th derivative or the derivative of order $n$, where, by convention, we take $f^{(0)}=f$. If $f$ has all derivatives, $f^{\prime}, f^{\prime \prime}, f^{\prime \prime \prime}, \ldots$, we say $f$ is smooth on $(a, b)$.

An alternate and useful notation for higher derivatives is obtained by thinking of $f^{\prime}=d f / d x$ as the result of applying $d / d x$ to $f$, i.e., $d f / d x=$ $(d / d x) f$. From this point of view, $d / d x$ signifies the operation of differentiation. Thus, applying $d / d x$ twice, we obtain
$$
f^{\prime \prime}=\left(\frac{d}{d x}\right)\left(\frac{d}{d x}\right) f=\left(\frac{d^2}{d x^2}\right) f=\frac{d^2 f}{d x^2} .
$$
Similarly, third derivatives may be denoted
$$
f^{\prime \prime \prime}=\left(\frac{d}{d x}\right)\left(\frac{d^2 f}{d x^2}\right)=\frac{d^3 f}{d x^3} .
$$
For example, $f(x)=x^2$ has $f^{\prime}(x)=2 x, f^{\prime \prime}(x)=2$, and $f^{(n)}(x)=0$ for $n \geq 3$. More generally, by induction, $f(x)=x^n, n \geq 0$, has derivatives
$$
f^{(k)}(x)=\frac{d^k f}{d x^k}= \begin{cases}\frac{n !}{(n-k) !} x^{n-k}, & 0 \leq k \leq n \ 0, & k>n\end{cases}
$$
so, $f(x)=x^n$ is smooth. By the arithmetic properties of derivatives, it follows that rational functions are smooth wherever they are defined.

Not all functions are smooth. The function $f(x)=|x|$ is not differentiable at zero. Using this, one can show that $f(x)=x^n|x|$ is $n$ times differentiable on $\mathbf{R}$, but $f^{(n)}$ is not differentiable at zero. More generally, for $f, g$ differentiable, we do not expect $\max (f, g)$ to be differentiable. However, since $f(x)=x^{1 / n}$ is smooth on $(0, \infty)$, algebraic functions are smooth on any open interval of definition. Also, the functions $x^a, a^x$, and $\log _a x$ are smooth on $(0, \infty)$.

We know the sign of $f^{\prime}$ determines the monotonicity of $f$, in the sense that $f^{\prime} \geq 0$ iff $f$ is increasing and $f^{\prime} \leq 0$ iff $f$ is decreasing. How is the sign of $f^{\prime \prime}$ reflected in the graph of $f$ ? Since $f^{\prime \prime}=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}$, we see that $f^{\prime \prime} \geq 0$ iff $f^{\prime}$ is increasing and $f^{\prime \prime} \leq 0$ iff $f^{\prime}$ is decreasing.
More precisely, we say $f$ is convex on $(a, b)$ if, for all $a<x<y<b$,
$$
f((1-t) x+t y) \leq(1-t) f(x)+t f(y), \quad 0 \leq t \leq 1 .
$$

微积分代考

数学代写|微积分代写Calculus代写|Mapping Properties

.

为了求导根，我们需要知道逆的导数是如何表现的。但连续函数是可逆的，如果它们是严格单调的($\S 2.3)$，因此，我们开始使用导数来识别单调性

3.2.1.

定理设$f:(a, b) \rightarrow \mathbf{R}$是可微的。如果$f^{\prime}(x) \neq 0$为$(a, b)$上的$a0$或$(a, b)$上的$f^{\prime}(x)<0$。此外，$(a, b)$ iff $f$上的$f^{\prime}(x) \geq 0$在增加，$(a, b)$ iff $f$上的$f^{\prime}(x) \leq 0$在减少

根据中值定理，给定$ac$，那么，
$$
f^{\prime}(c)=\lim _{x \rightarrow c+} \frac{f(x)-f(c)}{x-c} \geq 0,
$$
对于$(a, b)$上的所有$a0$或$(a, b)$上的$f^{\prime}<0$ 一般来说，严格单调性并不意味着$f^{\prime}$的不消失。例如，$f(x)=x^3$在$\mathbf{R}$上严格递增，但是$f^{\prime}(0)=0$ .
由于它的导数在上一节中计算过，函数
$$
f(x)=\frac{x^2-1}{x^2+1}
$$
在$(0, \infty)$上严格递增，在$(-\infty, 0)$上严格递减。因此，临界点$x=0$是$\mathbf{R}$上$f$的最小值

这个定理的一个有用的结果是:如果$f$和$g$在$(a, b)$上可微，在$[a, b], f(a)=g(a)$上连续，在$(a, b)$上$f^{\prime}(x) \geq g^{\prime}(x)$，那么，$f(x) \geq g(x)$在$[a, b]$上。接下来将定理应用到$h=f-g$ .

另一个结果是导数，虽然不一定是连续的，但满足中值性质(练习$\mathbf{3 . 2 . 8}$)

现在我们可以证明可微函数的逆函数定理

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让$f$在$(a, b)$上可微。如果$f^{\prime}=d f / d x$在$(a, b)$上是可微的，我们表示它的导数为$f^{\prime \prime}=\left(f^{\prime}\right)^{\prime} ; f^{\prime \prime}$是$f$的二阶导数。如果$f^{\prime \prime}$是可微的$(a, b), f^{\prime \prime \prime}=\left(f^{\prime \prime}\right)^{\prime}$是$f$的三阶导数。一般来说，我们让$f^{(n)}$表示$n$的th阶导数或$n$的导数，其中，按照惯例，我们取$f^{(0)}=f$。如果$f$有所有的衍生物$f^{\prime}, f^{\prime \prime}, f^{\prime \prime \prime}, \ldots$，我们说$f$在$(a, b)$上是平滑的。

高阶导数的另一种有用的表示法是将$f^{\prime}=d f / d x$作为将$d / d x$应用于$f$的结果，即$d f / d x=$$(d / d x) f$。从这个角度来看，$d / d x$意味着差异化的操作。因此，应用$d / d x$两次，我们得到
$$
f^{\prime \prime}=\left(\frac{d}{d x}\right)\left(\frac{d}{d x}\right) f=\left(\frac{d^2}{d x^2}\right) f=\frac{d^2 f}{d x^2} .
$$
类似地，第三阶导数可以表示为
$$
f^{\prime \prime \prime}=\left(\frac{d}{d x}\right)\left(\frac{d^2 f}{d x^2}\right)=\frac{d^3 f}{d x^3} .
$$
例如，$f(x)=x^2$有$f^{\prime}(x)=2 x, f^{\prime \prime}(x)=2$, $f^{(n)}(x)=0$有$n \geq 3$。更一般地，根据归纳，$f(x)=x^n, n \geq 0$的导数
$$
f^{(k)}(x)=\frac{d^k f}{d x^k}= \begin{cases}\frac{n !}{(n-k) !} x^{n-k}, & 0 \leq k \leq n \ 0, & k>n\end{cases}
$$
所以$f(x)=x^n$是光滑的。根据导数的算术性质，有理函数在任何定义的地方都是光滑的

不是所有的函数都是平滑的。函数$f(x)=|x|$在0处是不可微的。利用这个，我们可以证明$f(x)=x^n|x|$在$\mathbf{R}$上是$n$乘以可微的，但是$f^{(n)}$在0处是不可微的。更一般地，对于$f, g$可微，我们不期望$\max (f, g)$是可微的。然而，由于$f(x)=x^{1 / n}$在$(0, \infty)$上是光滑的，代数函数在任何开区间上都是光滑的。此外，函数$x^a, a^x$和$\log _a x$在$(0, \infty)$上是平滑的。

我们知道$f^{\prime}$的符号决定了$f$的单调性，即$f^{\prime} \geq 0$ iff $f$是递增的，而$f^{\prime} \leq 0$ iff $f$是递减的。$f^{\prime \prime}$的符号如何反映在$f$的图形中?从$f^{\prime \prime}=\left(f^{\prime}\right)^{\prime}$开始，我们看到$f^{\prime \prime} \geq 0$ iff $f^{\prime}$在增加，而$f^{\prime \prime} \leq 0$ iff $f^{\prime}$在减少。更准确地说，如果对于所有$a<x<y<b$，
$$
f((1-t) x+t y) \leq(1-t) f(x)+t f(y), \quad 0 \leq t \leq 1 .
$$ ，我们说$f$是$(a, b)$上的凸

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。