# 数学代写|微积分代写Calculus代写|Definite integral Substitutions and the Area Between Curves

#### Doug I. Jones

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## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Definite integral Substitutions and the Area Between Curves

There are two methods for evaluating a definite integral by substitution. One method is to find an antiderivative using substitution and then to evaluate the definite integral by applying the Evaluation Theorem. The other method extends the process of substitution directly to definite integrals by changing the limits of integration. We will use the new formula that we introduce here to compute the area between two curves.
The Substitution Formula
The following formula shows how the limits of integration change when we apply a substitution to an integral.
THEOREM 7-Substitution in Definite Integrals
If $g^{\prime}$ is continuous on the interval $[a, b]$ and $f$ is continuous on the range of $g(x)=u$, then
$$\int_a^b f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u .$$
Proof Let $F$ denote any antiderivative of $f$. Then,
$$\begin{array}{rlrl} \int_a^b f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x & =F(g(x))]{x=a}^{x=b} & & \frac{d}{d x} F(g(x)) \ & =F(g(b))-F(g(a)) & & =F^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) \ & =F(u)]{u=g(a)}^{u=g(b)} & & \ & =\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u . & & \text { Fundamental } \ & \text { Theorem, Part 2 } \end{array}$$
To use Theorem 7, make the same $u$-substitution $u=g(x)$ and $d u=g^{\prime}(x) d x$ that you would use to evaluate the corresponding indefinite integral. Then integrate the transformed integral with respect to $u$ from the value $g(a)$ (the value of $u$ at $x=a$ ) to the value $g(b)$ (the value of $u$ at $x=b$ ).

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Definite Integrals of Symmetric Functions

The Substitution Formula in Theorem 7 simplifies the calculation of definite integrals of even and odd functions (Section 1.1) over a symmetric interval $[-a, a]$ (Figure 5.24).

THEOREM 8 Let $f$ be continuous on the symmetric interval $[-a, a]$.
(a) If $f$ is even, then $\int_{-a}^a f(x) d x=2 \int_0^a f(x) d x$.
(b) If $f$ is odd, then $\int_{-a}^a f(x) d x=0$.
Proof of Part (a)
\begin{aligned} \int_{-a}^a f(x) d x & =\int_{-a}^0 f(x) d x+\int_0^a f(x) d x \ & =-\int_0^{-a} f(x) d x+\int_0^a f(x) d x \ & =-\int_0^a f(-u)(-d u)+\int_0^a f(x) d x \ & =\int_0^a f(-u) d u+\int_0^a f(x) d x \ & =\int_0^a f(u) d u+\int_0^a f(x) d x \ & =2 \int_0^a f(x) d x \end{aligned}
Definite Integrals
Order of Integration Rule
Let $u=-x, d u=-d x$.
When $x=0, u=0$.
When $x=-a, u=a$.
$f$ is even, so $f(-u)=f(u)$.

# 微积分代考

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Definite integral Substitutions and the Area Between Curves

$$\int_a^b f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x=\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u .$$

$$\begin{array}{rlrl} \int_a^b f(g(x)) \cdot g^{\prime}(x) d x & =F(g(x))]{x=a}^{x=b} & & \frac{d}{d x} F(g(x)) \ & =F(g(b))-F(g(a)) & & =F^{\prime}(g(x)) g^{\prime}(x) \ & =F(u)]{u=g(a)}^{u=g(b)} & & \ & =\int_{g(a)}^{g(b)} f(u) d u . & & \text { Fundamental } \ & \text { Theorem, Part 2 } \end{array}$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Definite Integrals of Symmetric Functions

(a)如果$f$是偶数，则$\int_{-a}^a f(x) d x=2 \int_0^a f(x) d x$。
(b)如果$f$是奇数，则$\int_{-a}^a f(x) d x=0$。
(a)部证明
\begin{aligned} \int_{-a}^a f(x) d x & =\int_{-a}^0 f(x) d x+\int_0^a f(x) d x \ & =-\int_0^{-a} f(x) d x+\int_0^a f(x) d x \ & =-\int_0^a f(-u)(-d u)+\int_0^a f(x) d x \ & =\int_0^a f(-u) d u+\int_0^a f(x) d x \ & =\int_0^a f(u) d u+\int_0^a f(x) d x \ & =2 \int_0^a f(x) d x \end{aligned}

$f$是偶数，所以$f(-u)=f(u)$。

## 有限元方法代写

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