## 数学代写|微积分代写Calculus代写|МАТН0220

2023年1月5日

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## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Midpoints

Left- and right-hand endpoints are not the only possible choices. Another possibility is to use midpoints. Instead of the height of the rectangle matching the curve at the top left corner or the top right corner, we make the height of the rectangle match the height of the curve at the midpoint of the top side of the rectangle. Returning again to $y=x^2$ from $x=1$ to $x=5$ with $n=4$ rectangles, the approximating rectangles appear as in figure 14 . Notice there is both area left out by the brown rectangles as well as extra area included in the brown rectangles. This happens often when using midpoints, and this is the reason why midpoints often give a much better estimate of the area we are seeking.

Because we are once again using $n=4$, the width of each rectangle is 1 and the subintervals are [1,2], [2,3], [3,4], and $[4,5]$, as before. What changes is the heights of the rectangles. Instead of finding the height of the curve at $x=1,2,3$, and 4 as we did for left-hand endpoints, or at $x=2,3,4$, and 5 as we did for right-hand endpoints,we instead find the heights of the curve at the midpoints of the subintervals-that is, at $x=1.5, x=2.5, x=3.5$, and $x=4.5$ :
\begin{tabular}{r|r}
$x$ & $y=x^2$ \
\hline $1.5$ & $2.25$ \
$2.5$ & $6.25$ \
$3.5$ & $12.25$ \
$4.5$ & $20.25$
\end{tabular}
Now that we have the widths and heights of the rectangles, we multiply to find the areas and add the results to get the total area of the brown rectangles:
$$1 \cdot 2.25+1 \cdot 6.25+1 \cdot 12.25+1 \cdot 20.25=41 \text { units }^2$$

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Upper and lower estimates

In example 1 , the tops of the approximating rectangles were not always below the curve, neither were they always above the curve (figure 9). As a result, we could not tell immediately whether the total area of the rectangles was an underestimate or an overestimate. Left- and righthand endpoints did not give us bounds for the area under the curve.
One way to rectify this situation and find bounds for the area under the curve is to make the rectangles as tall as possible while not going over the top of the curve (lower estimate) and then to make the rectangles as short as possible without the tops of the rectangles going below the curve (upper estimate).

Example 3 Estimate the area under the curve $y=x^2+1$ from $x=-1$ to $x=2$ using $n=6$ rectangles, finding (a) a lower estimate and (b) an upper estimate.Solution (a) We use the same steps as in examples 1 and 2, replacing left-hand endpoints or midpoints with a lower estimate. The result of step 1 , sketching the curve and the region with the area we wish to estimate, is repeated in figure 17 , left.

(2) Before sketching the approximating rectangles, we need to know the widths of the rectangles. As in examples 1 and 2, the widths are $\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{2-(-1)}{6}=\frac{1}{2}$, and the subintervals are $[-1,-0.5]$, $[-0.5,0],[0,0.5],[0.5,1],[1,1.5]$, and $[1.5,2]$. For a lower estimate, the rectangles need to be as tall as possible while not going over the top of the curve. The result is in figure 17 (right).
(3) The third step is to determine the heights of the rectangles. This time, rather than give a table of values, let’s mark the heights on the curve (figure 18). Because we are not using left-hand endpoints or right-hand endpoints or midpoints consistently to get the height of the curve, it is easier to see which values to include or not include from the diagram than it is from the table of values. The heights of the rectangles are the heights of the curve at $x=-0.5, x=0$ (for two rectangles), $x=0.5, x=1$, and $x=1.5$.

# 微积分代考

## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Midpoints

Ibegin ${$ tabular $} r \mid r} \$ \times \$\& \$ y=x^{\wedge} 2 \$\backslash \backslash$ hline $\$ 1.5 \$\& \$ 2.25 \$\backslash \$ 2.5 \$$现在我们有了矩形的宽度和高度，我们乘以求出面积并 将结果相加得到棕色矩形的总面积:$$
1 \cdot 2.25+1 \cdot 6.25+1 \cdot 12.25+1 \cdot 20.25=41 \text { units }^2
$$## 数学代写|微积分代写Calculus代写|Upper and lower estimates 在示例 1 中，近似矩形的顶部并不总是在曲线下方，也 不总是在曲线上方（图 9）。因此，我们无法立即判断 矩形的总面积是低估了还是高估了。左右端点没有给我 们曲线下面积的界限。 纠正这种情况并找到曲线下区域边界的一种方法是使矩 形尽可能高，同时不超过曲线的顶部（较低的估计 值），然后使矩形在没有顶部的情况下尽可能短曲线下 方的矩形（上估计）。 示例 3 估计曲线下的面积 y=x^2+1 从 x=-1 到 x=2 使用 n=6 矩形，找到 (a) 较低的估计值和 (b) 较 高的估计值。解决方案 (a) 我们使用与示例 1 和 2 中相 同的步骤，用较低的估计值替换左侧端点或中点。图 17 左侧重复了步骤 1 的结果，即绘制曲线和具有我们希望 估计的面积的区域。 (2) 在绘制近似矩形之前，我们需要知道矩形的宽度。与 示例 1 和 2 中一样，宽度为$$
\Delta x=\frac{b-a}{n}=\frac{2-(-1)}{6}=\frac{1}{2} \text { ，子区间是 }[-1,-0.5] \text { ， }

$[-0.5,0],[0,0.5],[0.5,1],[1,1.5]$ ， 和 $[1.5,2]$. 对于较低的估计值，矩形需要尽可能高，同时不要超过曲 线的顶部。结果如图 17 (右) 所小的。
(3) 第三步确定矩形的高度。这一次，我们不给出数值 表，而是在曲线上标记高度 (图 18)。因为我们没有始 终如一地使用左手端点或右手端点或中点来获取曲线的 高度，所以与从值表相比，从图表中更容易看出要包含 或不包含哪些值。矩形的高度是曲线的高度 $x=-0.5, x=0$ (对于两个矩形)， $x=0.5, x=1 ＼mathrm{~ ， 和 ~} x=1.5$.

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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