金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|MGF 657

Doug I. Jones

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金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Lyapunov Stability Analysis

Through Lyapunov stability analysis it will be shown that the proposed nonlinear control scheme assures $H_{\infty}$ tracking performance, and that in case of bounded disturbance terms asymptotic convergence to the reference setpoints is succeeded.
The tracking error dynamics for the nonlinear system is written in the form
$$\dot{e}=A e+B u+L \tilde{d}$$
where in this example $L=I \in R^{n}$ with $I$ being the identity matrix. The following Lyapunov equation is considered
$$V=\frac{1}{2} e^{T} P e$$
where $e=x-x_{d}$ is the tracking error. By differentiating with respect to time one obtains
$$\begin{gathered} \dot{V}=\frac{1}{2} \dot{e}^{T} P e+\frac{1}{2} e P \dot{e} \Rightarrow \ \dot{V}=\frac{1}{2}[A e+B u+L \tilde{d}]^{T} P+\frac{1}{2} e^{T} P[A e+B u+L \tilde{d}] \Rightarrow \ \dot{V}=\frac{1}{2}\left[e^{T} A^{T}+u^{T} B^{T}+\tilde{d}^{T} L^{T}\right] P e+ \ +\frac{1}{2} e^{T} P[A e+B u+L \tilde{d}] \Rightarrow \ \dot{V}=\frac{1}{2} e^{T} A^{T} P e+\frac{1}{2} u^{T} B^{T} P e+\frac{1}{2} \tilde{d}^{T} L^{T} P e+ \ \frac{1}{2} e^{T} P A e+\frac{1}{2} e^{T} P B u+\frac{1}{2} e^{T} P L \tilde{d} \end{gathered}$$
The previous equation is rewritten as
$$\begin{gathered} \dot{V}=\frac{1}{2} e^{T}\left(A^{T} P+P A\right) e+\left(\frac{1}{2} u^{T} B^{T} P e+\frac{1}{2} e^{T} P B u\right)+ \ +\left(\frac{1}{2} \tilde{d}^{T} L^{T} P e+\frac{1}{2} e^{T} P L \tilde{d}\right) \end{gathered}$$

金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Approximate Linearization with Local Fuzzy Models

This approach commonly makes use of Takagi-Sugeno fuzzy modelling and the solution of Linear Matrix Inequalities (LMIs) [282].

After linearization round local operating points the initial nonlinear dynamical system of the form
$$\dot{x}=f(x, u)$$
is written in the form of Takagi-Sugeno fuzzy model, that is [72]
Rule i : IF $x_{1}(t)$ is $M_{1}^{i} A N D x_{2}(t)$ is $M_{2}^{i} A N D \cdots A N D x_{n}(t)$ is $M_{n}^{i}$ THEN $\delta x(t)=A_{i} x(t)+B_{i} u(t) i=1,2, \ldots, r$
where $x_{j}$ is the $j$-th variable of the state vector, $M_{j}^{i}$ is the $i$-th fuzzy set into which the value range of the $j$-th input variable is partitioned, $x(t)=\left[x_{1}(t), \ldots, x_{n}(t)\right]^{T}$ in $R^{n}$ is the state vector, $u(t)=\left[u_{1}(t), \ldots, u_{m}(t)\right]^{T} \in R^{m}$ is the input vector, while it holds $A_{i} \in R^{n \times n}$ and $B_{i} \in R^{n \times m}$. It is noted that the model described in Eq. (2.53) includes also the autonomous system dynamics, that is when $u(t)=0$.

金融工程代写

金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Lyapunov Stability Analysis

$$\dot{e}=A e+B u+L \tilde{d}$$

$$V=\frac{1}{2} e^{T} P e$$

$$\dot{V}=\frac{1}{2} \dot{e}^{T} P e+\frac{1}{2} e P \dot{e} \Rightarrow \dot{V}=\frac{1}{2}[A e+B u+L \tilde{d}]^{T} P+\frac{1}{2} e^{T} P[A e+B u+L \tilde{d}]$$

$$\dot{V}=\frac{1}{2} e^{T}\left(A^{T} P+P A\right) e+\left(\frac{1}{2} u^{T} B^{T} P e+\frac{1}{2} e^{T} P B u\right)++\left(\frac{1}{2} \tilde{d}^{T} L^{T} P e+\frac{1}{2}\right.$$

金融代写|金融工程作业代写Financial Engineering代考|Approximate Linearization with Local Fuzzy Models

$$\dot{x}=f(x, u)$$

Rule i: IF $x_{1}(t)$ 是 $M_{1}^{i} A N D x_{2}(t)$ 是 $M_{2}^{i} A N D \cdots A N D x_{n}(t)$ 是 $M_{n}^{i}$ 然后 $\delta x(t)=A_{i} x(t)+B_{i} u(t) i=1,2, \ldots, r$

有限元方法代写

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MATLAB代写

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