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利率模型是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中，以确定利率在未来的移动方向。

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金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Equity Options under the Hull–White Model

To price either a call or a put option by Black’s formula, we need to calculate Black’s volatility of the forward price (Equation 4.97). In applications, asset volatilities are often given in the form of a scalar instead of a vector, and asset correlations are given explicitly. In such a situation, the (square of) Black’s volatility, Equation 4.97, takes a different form. In this section, we present Black’s volatility for both the Ho-Lee model and the HullWhite model, and we work out two examples of option pricing under these models.

Consider first the pricing of an equity call option under the Ho-Lee model for interest rates. The forward-rate volatility under the Ho-Lee model is $\sigma_{0}$, resulting in the volatility of the zero-coupon bond being $\boldsymbol{\Sigma}(t, T)=-\sigma_{0}(T-t)$. Assume that the local volatility of the underlying asset is a constant, $\sigma_{S}$, and the correlation between the asset and the zero-coupon bond is $\rho$. Then, Black’s volatility of the forward price can be calculated as
$$
\begin{aligned}
\sigma_{F}^{2} &=\frac{1}{T-t} \int_{t}^{T}\left|\boldsymbol{\Sigma}{S}(u)-\boldsymbol{\Sigma}(u, T)\right|^{2} \mathrm{~d} u \ &=\frac{1}{T-t} \int{t}^{T}\left(\left|\boldsymbol{\Sigma}{S}(u)\right|^{2}-2 \boldsymbol{\Sigma}{S}^{\mathrm{T}}(u) \boldsymbol{\Sigma}(u, T)+|\boldsymbol{\Sigma}(u, T)|^{2}\right) \mathrm{d} u \
&=\frac{1}{T-t} \int_{t}^{T}\left(\sigma_{S}^{2}-2 \rho \sigma_{S} \sigma_{0}(T-u)+\sigma_{0}^{2}(T-u)^{2}\right) \mathrm{d} u \
&=\sigma_{S}^{2}-\rho \sigma_{S} \cdot \sigma_{0}(T-t)+\frac{1}{3} \sigma_{0}^{2}(T-t)^{2} .
\end{aligned}
$$
Note that a positive correlation reduces Black’s volatility. Let us wit ness the effect on the price of asset-interest rate correlation in the following example.

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Options on Coupon Bonds

Options on coupon bonds actually belong to the first generation of fixedincome derivatives. Options on Treasury bonds are liquidly traded. In Section 4.6, we have studied the pricing of coupon bonds using Monte Carlo simulations. Here, we instead introduce a methodology for approximate pricing of options on coupon bonds.

As was already presented in Section 4.6, the payoffs of call options on coupon bonds take the form
$$
V_{T}=\left(\sum_{i=1}^{N} \Delta T c P\left(T_{0}, T_{i}\right)+P\left(T_{0}, T_{N}\right)-K\right)^{+}
$$
where $T_{0}$ is the maturity of the option. Let $B_{t}^{c}$ denote the bond price at time $t$. Then the $T_{0}$-forward price of the coupon bond is
$$
\begin{aligned}
F_{t}^{T_{0}} &=\frac{B_{t}^{c}}{P\left(t, T_{0}\right)} \
&=\sum_{i=1}^{N} \Delta T c \frac{P\left(t, T_{i}\right)}{P\left(t, T_{0}\right)}+\frac{P\left(t, T_{N}\right)}{P\left(t, T_{0}\right)}
\end{aligned}
$$ $$
=\sum_{i=1}^{N} \Delta T c \frac{P\left(0, T_{i}\right)}{P\left(0, T_{0}\right)} M_{i}(t)+\frac{P\left(0, T_{N}\right)}{P\left(0, T_{0}\right)} M_{N}(t)
$$
Here,
$$
\begin{aligned}
M_{i}(t)=& \exp \left(\int_{0}^{t}-\frac{1}{2}\left|\boldsymbol{\Sigma}\left(s, T_{i}\right)-\boldsymbol{\Sigma}\left(s, T_{0}\right)\right|^{2} \mathrm{~d} s\right.\
&\left.+\left(\boldsymbol{\Sigma}\left(s, T_{i}\right)-\boldsymbol{\Sigma}\left(s, T_{0}\right)\right)^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \hat{\mathbf{W}}{s}\right) \end{aligned} $$ is a martingale under the $T{0}$-forward measure. For convenience we now rewrite Equation $4.117$ as
$$
\frac{F_{t}^{T_{0}}}{F_{0}^{T_{0}}}=\sum_{i=1}^{N} \omega_{i} M_{i}(t)
$$
where
$$
\omega_{i}= \begin{cases}\frac{\Delta T c P\left(0, T_{i}\right)}{B_{0}^{c}}, & i<N \ \frac{(1+\Delta T c) P\left(0, T_{N}\right)}{B_{0}^{c}}, & i=N\end{cases}
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|NUMERAIRES AND CHANGES OF MEASURE

A major achievement so far in this chapter is to take zero-coupon bonds as numeraires and price options under their corresponding forward measures. Mathematically, this is merely a technique of changing the numeraire asset, followed by taking the expectation of the option payoffs under the martingale measures of the numeraire assets. In this section, we discuss this technique in a general context.

Let $\mathbb{Q}{A}$ be the martingale measure associated with reference asset $A{t}$, meaning that, for any traded asset $V_{t}$, its price relative to that of asset $A_{t}$,
$$
\frac{V_{t}}{A_{t}},
$$
is a $\mathbb{Q}{A}$-martingale. Consider another asset, $B{t}$, and its associated martingale measure, $\mathbb{Q}{B}$. According to the one-price principle, the value of any traded asset at time $t, V{t}$, satisfies
$$
V_{t}=A_{t} E_{t}^{\mathbb{Q}{A}}\left[A{T}^{-1} V_{T}\right]=B_{t} E_{t}^{\mathbb{Q}{B}}\left[B{T}^{-1} V_{T}\right]
$$

From the above equation, we obtain
$$
E_{t}^{Q_{B}}\left[B_{T}^{-1} V_{T}\right]=\frac{A_{t}}{B_{t}} E_{t}^{\mathbb{Q}{A}}\left[\frac{B{T}}{A_{T}}\left(B_{T}^{-1} V_{T}\right)\right] .
$$
Let $\zeta$ be the Radon-Nikodym derivative between $\mathbb{Q}{B}$ and $\mathbb{Q}{A}$ :
$$
\left.\frac{\mathrm{d} \mathbb{Q}{B}}{\mathrm{~d} \mathbb{Q}{A}}\right|{\mathcal{F}{t}}=\zeta_{t} .
$$
Then,
$$
E_{\mathrm{t}}^{\mathbb{Q}{B}}\left[B{T}^{-1} V_{T}\right]=\zeta_{t}^{-1} E_{t}^{\mathbb{Q}{A}}\left[\zeta{T}\left(B_{T}^{-1} V_{T}\right)\right] .
$$
Subtracting Equation $4.128$ from Equation 4.130, we obtain
$$
0=E_{t}^{Q_{A}}\left[\left(\frac{\zeta_{T}}{\zeta_{t}}-\frac{B_{T} / A_{T}}{B_{t} / A_{t}}\right)\left(B_{T}^{-1} V_{T}\right)\right] .
$$
Note that Equation $4.131$ holds for prices of any tradable assets, so we can argue that
$$
\zeta_{t}=\left.\frac{\mathrm{d} \mathbb{Q}{B}}{\mathrm{~d} \mathbb{Q}{A}}\right|{\mathcal{F}{t}}=\frac{B_{t} / A_{t}}{B_{0} / A_{0}} \quad \text { a.s. }
$$

利率建模代考

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Equity Options under the Hull–White Model

要通过布莱克公式对看涨期权或看跌期权进行定价，我们需要计算布莱克对远期价格的波动 性 (公式 4.97) 。在应用中，资产波动率通常以标量而不是向量的形式给出，资产相关性是 明确给出的。在这种情况下，黑方波动率的（平方）方程 $4.97$ 采用不同的形式。在本节中， 我们介绍了 Ho-Lee 模型和 HullWhite 模型的布莱克波动率，并在这些模型下制定了期权定 价的两个示例。
首先考虑在 Ho-Lee 利率模型下股票看涨期权的定价。Ho-Lee 模型下的远期利率波动率为
$\sigma_{0}$ ，导致零息债券的波动率为 $\boldsymbol{\Sigma}(t, T)=-\sigma_{0}(T-t)$. 假设标的资产的局部波动率是一个
常数， $\sigma_{S}$ ，资产与零息债券的相关性为 $\rho$. 那么，布莱克的远期价格波动率可以计算为
$$
\sigma_{F}^{2}=\frac{1}{T-t} \int_{t}^{T}|\boldsymbol{\Sigma} S(u)-\boldsymbol{\Sigma}(u, T)|^{2} \mathrm{~d} u \quad=\frac{1}{T-t} \int t^{T}\left(|\boldsymbol{\Sigma} S(u)|^{2}-2 \boldsymbol{\Sigma} S^{\mathrm{T}}(u) \mathbf{\Sigma}(u, T)+|\boldsymbol{\Sigma}(u, T)|^{2}\right) \mathrm{d} u
$$
请注意，正相关降低了布莱克的波动性。让我们在下面的例子中见证资产利率相关性对价格 的影响。

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|Options on Coupon Bonds

息票债券期权实际上属于第一代固定收益衍生品。国债期权交易流动性强。在第 $4.6$ 节中，
我们使用蒙特卡罗模拟研究了息票债券的定价。在这里，我们改为介绍一种对息票债券期权 进行近似定价的方法。
如第 $4.6$ 节所述，息票债券看涨期权的收益采用以下形式
$$
V_{T}=\left(\sum_{i=1}^{N} \Delta T c P\left(T_{0}, T_{i}\right)+P\left(T_{0}, T_{N}\right)-K\right)^{+}
$$
在郆里 $T_{0}$ 是期权的期限。让 $B_{t}^{c}$ 表示当时的债券价格 $t$. 然后 $T_{0}$-息票债券的远期价格为
$$
\begin{aligned}
F_{t}^{T_{0}} &=\frac{B_{t}^{c}}{P\left(t, T_{0}\right)}=\sum_{i=1}^{N} \Delta T c \frac{P\left(t, T_{i}\right)}{P\left(t, T_{0}\right)}+\frac{P\left(t, T_{N}\right)}{P\left(t, T_{0}\right)} \
&=\sum_{i=1}^{N} \Delta T c \frac{P\left(0, T_{i}\right)}{P\left(0, T_{0}\right)} M_{i}(t)+\frac{P\left(0, T_{N}\right)}{P\left(0, T_{0}\right)} M_{N}(t)
\end{aligned}
$$
这里,
$$
M_{i}(t)=\exp \left(\int_{0}^{t}-\frac{1}{2}\left|\boldsymbol{\Sigma}\left(s, T_{i}\right)-\mathbf{\Sigma}\left(s, T_{0}\right)\right|^{2} \mathrm{~d} s \quad+\left(\boldsymbol{\Sigma}\left(s, T_{i}\right)-\mathbf{\Sigma}\left(s, T_{0}\right)\right)^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \hat{\mathbf{W}} s\right)
$$
是下鞅 $T 0$-前向措施。为方便起见，我们现在重写方程 $4.117$ 作为
$$
\frac{F_{t}^{T_{0}}}{F_{0}^{T_{0}}}=\sum_{i=1}^{N} \omega_{i} M_{i}(t)
$$
在喐里
$$
\omega_{i}=\left{\frac{\Delta T c P\left(0, T_{i}\right)}{B_{0}^{c}}, \quad i<N \frac{(1+\Delta T c) P\left(0, T_{N}\right)}{B_{0}^{c}}, \quad i=N\right.
$$

金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|NUMERAIRES AND CHANGES OF MEASURE

本章迄今为止的一个主要成就是将零息债券作为其相应的远期措施下的计价和价格选捍。从数学上讲，这只 是一蚛改变计价资产的技术，然后在计价资产的鞅测度下对期权收益进行预期。在本节中，我们将在一般背 景下讨论这种技术。
让Q $A$ 是与参考资产相关的勒测度 $A t$ ，这意味着，对于任何交易资产 $V_{t}$ ，它的价格相对于资产的价格 $A_{t}$ ，
$$
\frac{V_{t}}{A_{t}},
$$
是 个 $Q A$-鞅。考虑另一种资产， $B t$ ，及其相关的䩗测度， $\mathbb{}$ 的价值 $t, V t$, 满足
$$
V_{t}=A_{t} E_{t}^{\mathbb{Q} A}\left[A T^{-1} V_{T}\right]=B_{t} E_{t}^{Q B}\left[B T^{-1} V_{T}\right]
$$
从上面的等式，我们得到
$$
E_{t}^{Q_{B}}\left[B_{T}^{-1} V_{T}\right]=\frac{A_{t}}{B_{t}} E_{t}^{Q A}\left[\frac{B T}{A_{T}}\left(B_{T}^{-1} V_{T}\right)\right] .
$$
让 $\zeta$ 是 Radon-Nikodym 之间的导数 $\mathrm{Q} B$ 和 $\mathrm{Q} A$ :
$$
\frac{\mathrm{d} \mathbb{Q} B}{\mathrm{dQ} A} \mid \mathcal{F} t=\zeta_{t} .
$$
然后，
$$
E_{\mathrm{t}}^{\mathbb{Q} B}\left[B T^{-1} V_{T}\right]=\zeta_{t}^{-1} E_{t}^{\mathbb{Q} A}\left[\zeta T\left(B_{T}^{-1} V_{T}\right)\right] .
$$
减法4.128从方程 $4.130$ ，我们得到
$$
0=E_{t}^{Q_{A}}\left[\left(\frac{\zeta_{T}}{\zeta_{t}}-\frac{B_{T} / A_{T}}{B_{t} / A_{t}}\right)\left(B_{T}^{-1} V_{T}\right)\right] .
$$
请注意，方程4.131适用于任何可交易昸产的价格，所以我们可以说
$$
\zeta_{t}=\frac{\mathrm{d} \mathbb{Q} B}{\mathrm{~d} \mathbb{Q} A} \mid \mathcal{F} t=\frac{B_{t} / A_{t}}{B_{0} / A_{0}} \quad \text { a.s. }
$$

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金融工程代写

金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。

非参数统计代写

非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。

广义线性模型代考

广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。

术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。

有限元方法代写

有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。

有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。

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随机分析代写

随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。

时间序列分析代写

随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。

回归分析代写

多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。

MATLAB代写

MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。