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利率模型是指一种对利率的运动和演变进行建模的数学方法。它是一种基于市场风险的单因素短利率模型。瓦西克利率模型常用于经济学中，以确定利率在未来的移动方向。
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- Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
- Foundations of Data Science 数据科学基础
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|FORWARD PRICES
As was seen in the last section, option pricing under the HJM model can be achieved through Monte Carlo simulations. In fact, for interest-rate derivatives pricing under the HJM model, the Monte Carlo method is the only method that has been developed so far. Although this method is flexible and widely applicable, it suffers from slow convergence, and thus it is usually not the choice of market participants for whom pricing in real time is necessary. Hence, fast pricing methods must be developed. An important device for speedy option pricing is by a proper change of measure. As a preparation, we first introduce forward contracts and the notion of forward prices.
Let us begin with forward contracts. Suppose that we want to enter a deal now to purchase an asset at a future time when both payment and delivery take place. What should be taken as the fair price for this transaction? This contract is called a forward contract. We will try to figure out the fair price for the transaction, if there is one, by arbitrage arguments. To ensure delivery, the seller must borrow money now and acquire certain units of the asset. Denote the current price of the asset by $S_{t}$, the current time by $t$, the delivery time by $T$, and the unknown fair transaction price by $F$. Assume, at first, for simplicity that the asset pays no dividend. To be able to deliver one unit of the asset, the seller then does the following transactions:
- Short $S_{t} / P_{t}^{T}$ units of $T$-maturity zero-coupon bond.
- Long 1 unit of the asset.
Note that 1 and 2 are a set of zero-net transactions at time $t$. At the delivery time, $T$, the seller will deliver the asset to the buyer for the price of $F$, and thus ends up with the following P\&L value,
$$
V_{T}=F-\frac{S_{t}}{P_{t}^{T}}
$$
If arbitrage is not possible, there must be $V_{T}=0$, giving the fair transaction price
$$
F=\frac{S_{t}}{P_{t}^{T}}
$$
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|FORWARD MEASURE
Because the price of a zero-coupon bond equals par at maturity, a forward price equals its spot price at the delivery date, that is, $F_{T}^{T}=\hat{S}{T}=S{T}$. As a result, any options written on $S_{T}$ can equivalently be treated as an option on $F_{T}^{T}$. Next, we will try to price an option on $F_{T}^{T}$. For this purpose, we first need to derive the dynamics that $F_{t}^{T}$ follows.
As tradable assets, the price of a stripped-dividend asset and a zerocoupon bond are assumed to be, respectively,
$$
\begin{aligned}
\mathrm{d} \hat{S}{t} &=\hat{S}{t}\left(r_{t} \mathrm{~d} t+\boldsymbol{\Sigma}{S}^{\mathrm{T}}(t) \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}{t}\right) \
\mathrm{d} P_{t}^{T} &=P_{t}^{T}\left(r_{t} \mathrm{~d} t+\mathbf{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}{t}\right) \end{aligned} $$ By the quotient rule, the forward price satisfies $$ \begin{aligned} \mathrm{d}\left(\frac{\hat{S}{t}}{P_{t}^{T}}\right) &=\frac{\mathrm{d} \hat{S}{t}}{P}-\frac{\hat{S}{t} \mathrm{~d} P}{P^{2}}-\frac{\mathrm{d} \hat{S}{t} \mathrm{~d} P}{P^{2}}+\frac{\hat{S}{t}(\mathrm{~d} P)^{2}}{P^{3}} \
&=\frac{\hat{S}{t}}{P}\left(r{t} \mathrm{~d} t+\boldsymbol{\Sigma}{S}^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}{t}-r_{t} \mathrm{~d} t-\boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}{t}-\boldsymbol{\Sigma}{S}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Sigma} \mathrm{d} t+\boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\Sigma} \mathrm{d} t\right) \
&=\frac{\hat{S}{t}}{P}\left(\boldsymbol{\Sigma}{S}-\boldsymbol{\Sigma}\right)^{\mathrm{T}}\left(\mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}}_{t}-\boldsymbol{\Sigma} \mathrm{d} t\right) .
\end{aligned}
$$
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|BLACK’S FORMULA FOR CALL AND PUT OPTIONS
In this section, we derive the price formula for both call and put options using the forward price and under its corresponding forward measure. The payoff of a call option on anset, $S_{t}$, is
$$
V_{T}=\max \left(S_{T}-K, 0\right) \triangleq\left(S_{T}-K\right)^{+}
$$
In terms of the forward price, $F_{t}^{T}=\hat{S}{t} / P{t}^{T}$, we also have
$$
V_{T}=\left(F_{T}^{T}-K\right)^{+}
$$
Under the $T$-forward measure, we know that the price is given by
$$
V_{t}=P_{t}^{T} E^{\mathbb{Q}{T}}\left[\left(F{T}^{T}-K\right)^{+} \mid \mathcal{F}{t}\right] $$ The good news here is that $F{t}^{T}$ is a lognormal martingale under $\mathbb{Q}{T}$ : $$ \mathrm{d} F{t}^{T}=F_{t}^{T} \boldsymbol{\Sigma}{F}^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \hat{\mathbf{W}}{t}
$$
where $\boldsymbol{\Sigma}{F}$ is the difference between the volatilities of the asset and the $T$-maturity zero-coupon bond: $$ \mathbf{\Sigma}{F}=\mathbf{\Sigma}{S}-\mathbf{\Sigma}(t, T) $$ By repeating the procedure to derive the Black-Scholes formula, we obtain $$ V{t}=\hat{S}{t} N\left(d{1}\right)-K P_{t}^{T} N\left(d_{2}\right)
$$
where $N(\cdot)$ is the normal accumulative function,
$$
N(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} \exp \left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \mathrm{d} y
$$
and
$$
\begin{aligned}
d_{1} &=\frac{\ln \left(\hat{S}{t} /\left(P{t}^{T} K\right)\right)+(1 / 2) \sigma_{F}^{2}(T-t)}{\sigma_{F} \sqrt{T-t}} \
d_{2} &=d_{1}-\sigma_{F} \sqrt{T-t}
\end{aligned}
$$
with
$$
\sigma_{F}^{2}=\frac{1}{T-t} \int_{t}^{T}\left|\boldsymbol{\Sigma}{F}\right|^{2} \mathrm{~d} s=\frac{1}{T-t} \int{t}^{T}\left|\boldsymbol{\Sigma}_{S}(s)-\mathbf{\Sigma}(s, T)\right|^{2} \mathrm{~d} s
$$
利率建模代考
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|FORWARD PRICES
正如上一节所见，HJM 模型下的期权定价可以通过蒙特卡罗模拟来实现。事实上，对于 HJM 模型下的利率衍生品定价，蒙特卡罗方法是目前唯一发展起来的方法。虽然这种方法灵活且 适用广泛，但收敛速度僈，因此通常不是需要实时定价的市场参与者的选择。因此，必须开 发快速定价方法。快速期权定价的一个重要手段是适当改变衡量标准。作为准备，我们首先 介绍远期合约和远期价格的概念。
让我们从远期合约开始。假设我们现在想达成一项交易，以便在末来付款和交付都发生时购 买资产。本次交易的公允价格应该是多少? 这种合约称为远期合约。如果有的话，我们将尝 试通过套利论据来计算交易的公平价格。为确保交付，卖方必须立即借钱并获得某些资产单 位。用以下方式表示资产的当前价格 $S_{t}$ ，当前时间由 $t$ ，交货时间由 $T$ ，而末知的公平交易价 格为 $F$. 首先，为了简单起见，假设资产不支付股息。为了能够交付一个单位的资产，卖方然 后进行以下交易:
- 短的 $S_{t} / P_{t}^{T}$ 单位 $T$ – 到期零息债券。
- 多头 1 个单位的资产。
注意 1 和 2 是当时的一组零净交易 $t$. 在交货时， $T$ ，卖方将把资产交付给买方，价格为 $F$ ， 因此得到以下 P $\ \& L$ 值，
$$
V_{T}=F-\frac{S_{t}}{P_{t}^{T}}
$$
如果不能套利，就必须有 $V_{T}=0$ ，给出公平的交易价格
$$
F=\frac{S_{t}}{P_{t}^{T}}
$$
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|FORWARD MEASURE
由于零息债券的到期价格等于面值，因此远期价格等于交割日的现货价格，即
$F_{T}^{T}=\hat{S} T=S T$. 因此，任何写在 $S_{T}$ 可以等效地被视为一个选项 $F_{T}^{T}$. 接下来，我们将営 试为期权定价 $F_{T}^{T}$. 为此，我们首先需要推导出动力学 $F_{t}^{T}$ 跟随。
作为可交易资产，剥离股息资产和零息债券的价格分别假设为:
$$
\mathrm{d} \hat{S} t=\hat{S} t\left(r_{t} \mathrm{~d} t+\mathbf{\Sigma} S^{\mathrm{T}}(t) \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}} t\right) \mathrm{d} P_{t}^{T}=P_{t}^{T}\left(r_{t} \mathrm{~d} t+\boldsymbol{\Sigma}^{\mathrm{T}}(t, T) \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}} t\right)
$$
根据商规则，远期价格满足
$$
\mathrm{d}\left(\frac{\hat{S} t}{P_{t}^{T}}\right)=\frac{\mathrm{d} \hat{S} t}{P}-\frac{\hat{S} t \mathrm{~d} P}{P^{2}}-\frac{\mathrm{d} \hat{S} t \mathrm{~d} P}{P^{2}}+\frac{\hat{S} t(\mathrm{~d} P)^{2}}{P^{3}}=\frac{\hat{S} t}{P}\left(r t \mathrm{~d} t+\mathbf{\Sigma} S^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}} t-r_{t} \mathrm{~d} t-\mathbf{\Sigma}^{\mathrm{T}} \mathrm{d} \tilde{\mathbf{W}} t-\mathbf{\Sigma} S^{\mathrm{T}}\right.
$$
金融代写|利率建模代写Interest Rate Modeling代考|BLACK’S FORMULA FOR CALL AND PUT OPTIONS
在本节中，我们使用远期价格并在其相应的远期度量下推导出看沎期权和看跌期权的价格公式。 anset 看弜化 期权的收益， $S_{t}$ ，是
$$
V_{T}=\max \left(S_{T}-K, 0\right) \triangleq\left(S_{T}-K\right)^{+}
$$
在远期价格方面， $F_{t}^{T}=\hat{S} t / P t^{T}$ ，我们还有
$$
V_{T}=\left(F_{T}^{T}-K\right)^{+}
$$
在下面 $T$ – 前向测量，我们知道价格由下式给出
$$
V_{t}=P_{t}^{T} E^{Q T}\left[\left(F T^{T}-K\right)^{+} \mid \mathcal{F} t\right]
$$
这里的好消息是 $F t^{T}$ 是 个对数正态鞅 $Q T:$
$$
\mathrm{d} F t^{T}=F_{t}^{T} \boldsymbol{\Sigma} F^{T} \mathrm{~d} \hat{\mathbf{W}} t
$$
在邭里 $\boldsymbol{\Sigma} F$ 是冷产的波动率和 $T$-到期零息债券:
$$
\boldsymbol{\Sigma} F=\boldsymbol{\Sigma} S-\boldsymbol{\Sigma}(t, T)
$$
通过重复推导 Black-Scholes 公式的过程，我们得到
$$
V t=\hat{S} t N(d 1)-K P_{t}^{T} N\left(d_{2}\right)
$$
在哪里 $N(\cdot)$ 是正常的男积函数，
$$
N(x)=\frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{x} \exp \left(-\frac{y^{2}}{2}\right) \mathrm{d} y
$$
和
$$
d_{1}=\frac{\ln \left(\hat{S} t /\left(P t^{T} K\right)\right)+(1 / 2) \sigma_{F}^{2}(T-t)}{\sigma_{F} \sqrt{T-t}} d_{2}=d_{1}-\sigma_{F} \sqrt{T-t}
$$
和
$$
\sigma_{F}^{2}=\frac{1}{T-t} \int_{t}^{T}|\mathbf{\Sigma} F|^{2} \mathrm{~d} s=\frac{1}{T-t} \int t^{T}\left|\mathbf{\Sigma}_{S}(s)-\mathbf{\Sigma}(s, T)\right|^{2} \mathrm{~d} s
$$
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金融工程代写
金融工程是使用数学技术来解决金融问题。金融工程使用计算机科学、统计学、经济学和应用数学领域的工具和知识来解决当前的金融问题，以及设计新的和创新的金融产品。
非参数统计代写
非参数统计指的是一种统计方法，其中不假设数据来自于由少数参数决定的规定模型；这种模型的例子包括正态分布模型和线性回归模型。
广义线性模型代考
广义线性模型（GLM）归属统计学领域，是一种应用灵活的线性回归模型。该模型允许因变量的偏差分布有除了正态分布之外的其它分布。
术语 广义线性模型（GLM）通常是指给定连续和/或分类预测因素的连续响应变量的常规线性回归模型。它包括多元线性回归，以及方差分析和方差分析（仅含固定效应）。
有限元方法代写
有限元方法（FEM）是一种流行的方法，用于数值解决工程和数学建模中出现的微分方程。典型的问题领域包括结构分析、传热、流体流动、质量运输和电磁势等传统领域。
有限元是一种通用的数值方法，用于解决两个或三个空间变量的偏微分方程（即一些边界值问题）。为了解决一个问题，有限元将一个大系统细分为更小、更简单的部分，称为有限元。这是通过在空间维度上的特定空间离散化来实现的，它是通过构建对象的网格来实现的：用于求解的数值域，它有有限数量的点。边界值问题的有限元方法表述最终导致一个代数方程组。该方法在域上对未知函数进行逼近。[1] 然后将模拟这些有限元的简单方程组合成一个更大的方程系统，以模拟整个问题。然后，有限元通过变化微积分使相关的误差函数最小化来逼近一个解决方案。
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随机分析代写
随机微积分是数学的一个分支，对随机过程进行操作。它允许为随机过程的积分定义一个关于随机过程的一致的积分理论。这个领域是由日本数学家伊藤清在第二次世界大战期间创建并开始的。
时间序列分析代写
随机过程，是依赖于参数的一组随机变量的全体，参数通常是时间。 随机变量是随机现象的数量表现，其时间序列是一组按照时间发生先后顺序进行排列的数据点序列。通常一组时间序列的时间间隔为一恒定值（如1秒，5分钟，12小时，7天，1年），因此时间序列可以作为离散时间数据进行分析处理。研究时间序列数据的意义在于现实中，往往需要研究某个事物其随时间发展变化的规律。这就需要通过研究该事物过去发展的历史记录，以得到其自身发展的规律。
回归分析代写
多元回归分析渐进（Multiple Regression Analysis Asymptotics）属于计量经济学领域，主要是一种数学上的统计分析方法，可以分析复杂情况下各影响因素的数学关系，在自然科学、社会和经济学等多个领域内应用广泛。
MATLAB代写
MATLAB 是一种用于技术计算的高性能语言。它将计算、可视化和编程集成在一个易于使用的环境中，其中问题和解决方案以熟悉的数学符号表示。典型用途包括：数学和计算算法开发建模、仿真和原型制作数据分析、探索和可视化科学和工程图形应用程序开发，包括图形用户界面构建MATLAB 是一个交互式系统，其基本数据元素是一个不需要维度的数组。这使您可以解决许多技术计算问题，尤其是那些具有矩阵和向量公式的问题，而只需用 C 或 Fortran 等标量非交互式语言编写程序所需的时间的一小部分。MATLAB 名称代表矩阵实验室。MATLAB 最初的编写目的是提供对由 LINPACK 和 EISPACK 项目开发的矩阵软件的轻松访问，这两个项目共同代表了矩阵计算软件的最新技术。MATLAB 经过多年的发展，得到了许多用户的投入。在大学环境中，它是数学、工程和科学入门和高级课程的标准教学工具。在工业领域，MATLAB 是高效研究、开发和分析的首选工具。MATLAB 具有一系列称为工具箱的特定于应用程序的解决方案。对于大多数 MATLAB 用户来说非常重要，工具箱允许您学习和应用专业技术。工具箱是 MATLAB 函数（M 文件）的综合集合，可扩展 MATLAB 环境以解决特定类别的问题。可用工具箱的领域包括信号处理、控制系统、神经网络、模糊逻辑、小波、仿真等。
