# 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|MATH7125

#### Doug I. Jones

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• Longitudinal Data Analysis 纵向数据分析
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## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|The Relation Between the Maximum Principle and Dynamic Programming

We mention briefly the relation to dynamic programming:
Define
$$J^{(u)}(s, x)=E\left[\int_{0}^{T-s} f\left(s+t, X^{x}(t), u(t)\right) \mathrm{d} t+g\left(X^{x}(T-s)\right)\right], \quad u \in \mathcal{A},$$
where $X^{x}(t)$ is the solution of (5.2.1) for $t \geq 0$ with initial value $X(0)=x$.
Then put
$$V(s, x)=\sup {u \in \mathcal{A}} J^{(u)}(s, x) .$$ Theorem $5.6$ ([FØS3]) Assume that $V(s, x) \in C^{1,3}\left(\mathbb{R} \times \mathbb{R}^{n}\right)$ and that there exists an optimal Markov control $u^{}(t, x)$ for problem (5.1.3), with corresponding solution $X^{}(t)$ of $(5.1 .1)$. Define
\begin{aligned} p{i}(t)=& \frac{\partial V}{\partial x_{i}}\left(t, X^{}(t)\right), \quad 1 \leq i \leq n, \ q_{j k}(t)=& \sum_{i=1}^{n} \sigma_{i k}\left(t, X^{}(t), u^{}(t)\right) \frac{\partial^{2} V}{\partial x_{i} \partial x_{j}}\left(t, X^{}(t)\right), \quad 1 \leq j \leq n, 1 \leq k \leq m, \ r_{i k}(t, \zeta)=& \frac{\partial V}{\partial x_{i}}\left(t, X^{}(t)+\gamma^{(k)}\left(t, X^{}(t), u^{}(t), \zeta\right)\right)-\frac{\partial V}{\partial x_{i}}\left(t, X^{}(t)\right), \ & 1 \leq i \leq n, 1 \leq k \leq \ell . \end{aligned}
Then $(p(t), q(t), r(t, \cdot))$ solves the adjoint equation (5.2.9).
For a proof see [FØS3].

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Utility Maximization

We now give an example of how the maximum principle can be applied in finance. Consider a financial market where the unit price $S_{0}(t)$ of the risk free asset is
$$S_{0}(t)=1 ; t \in[0, T]$$
and the unit price $S_{1}(t)$ of the risky asset is given by
$$d S_{1}(t)=S_{1}(t)\left[b_{0}(t) d t+\sigma_{0}(t) d B(t)\right] ; t \in[0, T]$$
where $b_{0}(t), \sigma_{0}(t)$ are given $\mathbb{F}$-adapted processes.
Then the wealth process $X_{\pi}(t)$ associated to a (self-financing) portfolio $\pi(t)$ is given by
$$\left{\begin{array}{l} d X_{\pi}(t)=\pi(t) X\left(t^{-}\right)\left[b_{0}(t) d t+\sigma_{0}(t) d B(t)\right] ; t \geq 0 \ X_{\pi}(0)=x_{0}>0 . \end{array}\right.$$
Let $U$ be a given utility function. We want to find $\pi^{} \in \mathcal{A}$ such that $$E\left[U\left(X_{\pi^{}}(T)\right)\right]=\sup {\pi \in \mathcal{A}} E\left[U\left(X{\pi}(T)\right)\right],$$
where $\mathcal{A}$ is the given family of admissible $\mathbb{F}$-adapted portfolios $\pi$ with values in $\mathbb{R}$. The Hamiltonian for this problem is
$$H(t, x, y, z, k, \pi, \lambda, p, q, r)=\pi x b_{0} p+\pi x \sigma_{0}(t) q$$
$$\left{\begin{array}{l} d p(t)=-\pi(t)\left{b_{0}(t) p(t)+\sigma_{0}(t) q(t)\right} d t+q(t) d B(t) ; 0 \leq t \leq T \ p(T)=U^{\prime}\left(X_{\pi}(T)\right) . \end{array}\right.$$

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|The Relation Between the Maximum Principle and Dynamic Programming

$$J^{(u)}(s, x)=E\left[\int_{0}^{T-s} f\left(s+t, X^{x}(t), u(t)\right) \mathrm{d} t+g\left(X^{x}(T-s)\right)\right], \quad u \in \mathcal{A}$$

$$V(s, x)=\sup u \in \mathcal{A} J^{(u)}(s, x) .$$

$$p i(t)=\frac{\partial V}{\partial x_{i}}(t, X(t)), \quad 1 \leq i \leq n, q_{j k}(t)=\sum_{i=1}^{n} \sigma_{i k}(t, X(t), u(t)) \frac{\partial^{2} V}{\partial x_{i} \partial x_{j}}(t$$

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|Utility Maximization

$$S_{0}(t)=1 ; t \in[0, T]$$

$$d S_{1}(t)=S_{1}(t)\left[b_{0}(t) d t+\sigma_{0}(t) d B(t)\right] ; t \in[0, T]$$

$\$ \$$Veft{给出$$
d X_{\pi}(t)=\pi(t) X\left(t^{-}\right)\left[b_{0}(t) d t+\sigma_{0}(t) d B(t)\right] ; t \geq 0 X_{\pi}(0)=x_{0}>0
$$【正确的。 Let \ U \$$ beagivenutility function. Wewanttofind $\$ \pi \in \mathcal{A} \$s u c h t h a t$
$\mathrm{~ E V l e f t [ U \ l e f t ( X _ {}$ $\mathrm{~ ( T ) ` r i g h t )}$
where $\$ \mathcal{A}$\$isthegiven familyo fadmissible $\$ \mathbb{F} \$$adaptedportfolios \ \pi \$$ withvo
$H(t, x, y, z, k, \backslash p i$, Vambda, p, q, r)=|pi x b_{0} p+lpi x \sigma_{0}(t) q
$\backslash$ 剩下

## 有限元方法代写

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## MATLAB代写

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