# 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|MA662

#### Doug I. Jones

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## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|A Sufficient Maximum Principle

We establish here a sufficient maximum principle for optimal control in infinite horizon.

We first introduce the Hamiltonian and the adjoint equations for our problem. The Hamiltonian is defined in the same way as before by
\begin{aligned} H(t, x, u, p, q, r(\cdot)) &=f(t, x, u)+b(t, x, u) p+\sigma(t, x, u) q \ &+\int_{\mathbb{R}{0}} \theta(t, x, u, \zeta) r(\zeta) \nu(d \zeta) \end{aligned} where $$H:[0, \infty) \times \mathbb{R} \times \mathcal{U} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathcal{R} \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}$$ and $\mathcal{R}$ is the set of functions $r: \mathbb{R}{0} \rightarrow \mathbb{R}$ such that the integral term in (5.3.5) converges and $\mathcal{U}$ is the set of possible control values.
We suppose that $h, \sigma$ and $\theta$ are $C^{1}$ functions with respect to $(x, u)$ and that \begin{aligned} &E\left[\int _ { 0 } ^ { \infty } \left{\left|\frac{\partial b}{\partial x}(t, X(t), u(t))\right|^{2}+\left|\frac{\partial \sigma}{\partial x}(t, X(t), u(t))\right|^{2}\right.\right. \ &\left.\left.+\int_{\mathbb{R}{0}}\left|\frac{\partial \theta}{\partial x}(t, X(t), u(t), \zeta)\right|^{2} \nu(d \zeta)\right} d t\right]<\infty \end{aligned} The adjoint processes $(p(t), q(t), r(t, \cdot)), t \in[0, \infty)$, are assumed to satisfy the equation \begin{aligned} d p(t)=&-\frac{\partial H}{\partial x}(t, X(t), u(t), p(t), q(t), r(t, \cdot)) d t+q(t) d B(t) \ &+\int{\mathbb{R}_{0}} r(t, \zeta) \tilde{N}(d t, d \zeta) ; t \in[0, \infty) \end{aligned}

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|A Necessary Maximum Principle

In addition to the assumptions in the beginning of Sect. $5.3$, we now assume the following.
( $\left.A_{1}\right)$ For all $u \in \mathcal{A}{\mathrm{G}}$ and all $\beta \in \mathcal{A}{\mathrm{G}}$ bounded, there exists an $\epsilon>0$ such that
$$u+s \beta \in \mathcal{A}{\mathbb{G}} \text { for all } s \in(-\epsilon, \epsilon) .$$ $\left(A{2}\right.$ ) For all $t_{0}, h$ such that $0 \leq t_{0}<t_{0}+h \leq T$ and all bounded $\mathcal{G}{t{0}}$-measurable random variables $\alpha$, the control process $\beta(t)$ defined by
$$\beta(t)=\alpha \mathbf{1}{\left[t{0}, t_{0}+h\right]}(t)$$
belongs to $\mathcal{A}{\mathrm{G}}$. $\left(A{3}\right)$ The derivative process
$$\xi(t):=\left.\frac{d}{d s} X^{u+s \beta}(t)\right|_{s=0}$$
exists and belongs to $L^{2}(m \times P)$, where $m$ denotes the Lebesgue measure on $\mathbb{R}$.

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|A Sufficient Maximum Principle

$$H(t, x, u, p, q, r(\cdot))=f(t, x, u)+b(t, x, u) p+\sigma(t, x, u) q \quad+\int_{\mathbb{R} 0} \theta(t, x, u, \zeta)$$

$$H:[0, \infty) \times \mathbb{R} \times \mathcal{U} \times \mathbb{R} \times \mathbb{R} \times \mathcal{R} \times \Omega \rightarrow \mathbb{R}$$

$\mathrm{~ \ b e g i n { a l i g n e d } ~ \& E V l e f t [}$

$$d p(t)=-\frac{\partial H}{\partial x}(t, X(t), u(t), p(t), q(t), r(t, \cdot)) d t+q(t) d B(t)+\int \mathbb{R}_{0} r(t, \zeta)$$

## 统计代写|随机控制代写Stochastic Control代考|A Necessary Maximum Principle

$\left(A_{1}\right)$ 对所有人 $u \in \mathcal{A G}$ 和所有 $\beta \in \mathcal{A G}$ 有界，存在一个 $\epsilon>0$ 这样
$$u+s \beta \in \mathcal{A} G \text { for all } s \in(-\epsilon, \epsilon)$$
(A2) 对所有人 $t_{0}, h$ 这样 $0 \leq t_{0}<t_{0}+h \leq T$ 和所有有界的 $\mathcal{G} t 0$ – 可测量的随机变量 $\alpha$ ， 控制过程 $\beta(t)$ 被定义为
$$\beta(t)=\alpha \mathbf{1}\leftt 0, t_{0}+h\right$$

$$\xi(t):=\left.\frac{d}{d s} X^{u+s \beta}(t)\right|_{s=0}$$

## 有限元方法代写

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